Hässlich aber geht:
1. n kann keine Primzahlpotenz sein:
Ist n=pe, dann ist n3=p3e. Die Teilerzahlen sind e+1 und 3e+1. Ist t ein gemeinsamer Teiler dieser Anzahlen, so gilt auch t∣3⋅(e+1) und folglich teilt t auch die Differenz 3(e+1)−(3e+1)=2 ⟹t∈{1,2}.
=> n muss mindestens 2 Primfaktoren besitzen.
2. n=pe⋅qf mit p, q Primzahlen, e, f > 0. Man kann annehmen, dass e≥f ist, um sich doppelte Rechnungen zu sparen. Wir machen eine Tabelle:
e122333444556678f112123123121211(e+1)(f+1)469812161015201218142116−(3e+1)(3f+1)−28494070−52911306411276133−−ggT−2182−2110−227−−✓→24⋅33=432✓→26⋅32=57628⋅31>432
Alle überflüssigen Zeilen habe ich ausgelassen. Wenn du weißt, dass e=4, f=3 funktioniert musst du z.B. nicht mehr e=5,f=3,4,5 versuchen, da diese Zahlen größer ein müssen als bei e=4, f=3. Wenn du bei einer der Teileranzahlen eine Zweipotenz erhältst, ist auch der ggT eine Zweierpotenz, die restlichen Zellen kann man sich also sparen. Bei einem Treffer setzen wir p=2 und q=3 um die kleinste Zahl zu diesen Exponenten zu erhalten.
=> 432 ist die kleinste solche Zahl mit 2 Primfaktoren.
Selbes Spiel für 3 Faktoren
n=p1e1p2e2p3e3 mit e1≥e2≥e3
e112223333334e211221223331e311121121231(e1+1)(e2+1)(e3+1)812182716243632486420(3e1+1)(3e2+1)(3e3+1)−112196343−280490−700−208ggT−421−82−4−4
Hier können wir stoppen, denn 24⋅32⋅5>432 und 25⋅3⋅5>432
und für 4 Faktoren:
e112e211e311e411∏(ei+1)1624∏(3ei+1)−448ggT−8
Auch hier können wir stoppen, denn 23⋅3⋅5⋅7>432 und 22⋅32⋅5⋅7>432.
Mehr als 5 können es nicht sein, denn 2⋅3⋅5⋅7⋅11>432.
Insgesamt kommt man zu dem Schluss, dass 432 die kleinste dieser Zahlen sein muss.