Kern, Bilder von dualen Abbildungen

Question

Aufgabe: Es sei V ein endlich erzeugter VR über einen Körper, sei V* der Dualraum von V und sei U in V ein K-UR.

Ist W ein endlich erzeugter K-VR und f:V ->W Zeige:

i) ker(f*) = Im(f)°

ii) im(f*)=ker(f)°

Problem/Ansatz

Ich glaube zu i) zu wissen, warum die Gleichheit gilt, mir liegt auch die Musterlösung vor. Ich werde erst meine Idee zeigen und dannach die Musterlösung. Um es mir einfacher zu machen mit dem Latex schreiben kommentiere ich die Idee/Lösung unter dem Beitrag.

Comments

Zu i)

gezeigt werden soll ja die Gleichung $$ ker(f^*)=im(f)°$$

Der Kern selbst ist nach Defintion gleich 0, somit sind alle im Kern enthaltenen Elemente = 0.

Da ein weiterer VR W gegeben ist nach der Aufgabe, können wir erst eine duale Abbildung uns ansehen.

Denn die Abbildung f ist wie folgt definiert: $$ f: V \rightarrow W$$ demnach ist die duale Abbildung per Defintion so $$ f^*: W^* \rightarrow V^*$$

Ich hatte "nur" noch gesagt, sei $$w^* \in W^*$$ und damit dann unter der Idee des Kerns $$ f(w^*)=0$$

Schaue ich mir die linke Seite an, so habe ich es mit dem Bild von f zu tun.

Aufgrund des vorherigen Posts habe ich etwas versucht dieses mal die Definition des dualen Raumes als nicht eine Abbildung in den Körper zu betrachten.

Um den Annulator zu verstehen, muss man verstehen, dass der Annulator ein Unterraum des dualen Raumes ist der = 0 ist.

Hier kurz die Definition:

$$V^*=Hom(V,K) $$ als die Menge aller linearen Abbildungen von V nach K.

$$ V° := \{ f \in V^* | f(v)=0  \forall v \in V^* $$

Wenn ich mir nun ein v aus V nehme und mir das Bild der Abbildung anschaue, so treffe ich ein w aus W, wenn am Ende ein w aus W im Annulator enthalten ist, so wird dieses $$(w)° = 0$$

Damit sind beide Seiten gleich 0, was für mich "korrekt" wirkt.

Ich werde mal jetzt versuchen die Musterlösung nur in Latex zu tippen und würde gerne wissen worin dort der Unterschied liegt, etwas verstehe ich es ja, es wirkt aber auch ähnlich weswegen ich wissen und auch verstehen möchte, ob es an meinem Weg etwas auszusetzen gibt.

$$ f^*: W^* \rightarrow V^*$$ $$ \beta \in ker f^* \in W^*$$

$$\rightarrow f^*(\beta)=0$$

wobei die duale Abbildung noch geschrieben worden ist als Komposition von Beta komponiert f, habe ich zb nicht wäre das wichtig ?

Weiter aus der Lösung:

Insbesondere $$ \beta (im f) = \beta \circ f(v) = 0 \longrightarrow \beta \in (im f)°$$

Andererseits liegt $$\beta \in (imf)° \longrightarrow \beta(f(v))=0$$

daraus folgt $$ f*(\beta)(v)=0 \longrightarrow \beta \in ker f^*$$

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Zu der Lösung von dem Beweis zu ii)

Blicke ich auf den ersten mal gar nicht durch, da wird was von Summen und Surjektiven Abbildungen geschrieben.

Falls jemand den gleichen Beweis führt, würde ich um Erklärung bitten.

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Die Musterlösung ist korrekt, Deine nicht.

Nur ein paar Sachen seien erwähnt:

Die Aussage ‚Der Kern ist = 0‘ ist falsch

‚f(w*) = 0‘ ist falsch, man kann nicht f auf w* anwenden

‚…f(v) = 0 für alle v aus V*‘ ist unsinnig da v aus V ist.

‚Damit sind beide Seiten gleich 0, was für mich "korrekt" wirkt.‘ 

ker(f^*)=im(f)° bedeutet nicht das beide Seiten gleich null wären

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Hi, danke dir für deine Antwort schonmal.

Ich würde auf die von dir genannten Punkte eingehen wollen.

$$\cdot$$ Die Aussage, der Kern ist =0 ist falsch.

Okay, ich verstehe, dass man sich so nicht ausdrückt in der Mathematik.

Aus Wikipedia entnehme ich ganz allgemein, weil dort angemerkt ist, dass man spezifisch auf algebraische Strukturen achten sollte und diese abweichen können von einer einfachen Definition.

Der Kern besteht unter einer Abbildung zweier Vektorräume als die Abbildung, die den Nullvektor im Bild der Abbildung trifft.

$$ f:V \rightarrow W | f(v)=0  \forall v \in V$$ Mehr wollte ich mit dem Ausdruck der Kern ist =0 nicht treffen. Formell unpräzise aber Sinngemäß ist es meiner Meinung nach okay.

$$ \cdot f(w^*)=0$$

Ich sehe ein, dass ich die normale Abbildung genommen habe statt die duale Abbildung.

Selbst wenn ich nun $$ f^*(w^*)=0$$  benutzen sollte, kommt es vom aussehen dem aus Musterlösung sehr nah, nur dass man ein Beta vorliegen hat statt w*.

Meine Frage ist nun, wenn nach der Musterlösung $$\beta \in ker f^* \in W^*$$ ist, meine Variante, dass $$ w^*\in W^* \rightarrow f^*(w^*)=0$$  ist dann trotzdem richtig ? Wenn nicht, warum nicht ? Ist Beta zb doch eine Abbildung, wird zwar so nicht definiert aber eine Begründung wäre hilfreich.

$$\cdot$$ …f(v) = 0 für alle v aus V*‘ ist unsinnig da v aus V ist.

Wenns am Ende nur das kleine v gemeint ist mit,$$ v^* \in V^*$$

Sehe ich ein, ich hatte die Definition des Annulators aus dem Skript genommen und halt etwas hier angepasst, in der eigentlichen Definition steht folgendes:

Sei V ein K VR, U ein U VR.

$$ U° =\{ f\in V^* |f(u)=0  \forall  u \in U\} \in V^*$$

Unter dem letzten Punkt verstehe ich, dass der eigentliche Beweis nicht unter dem Aspekt läuft, zu zeigen, dass die beiden Ausdrücke gleich 0 sind.

Ich hatte natürlich die eigentliche Aufgabe auf Papier vor mir gerechnet bzw geschrieben, ebenfalls die Musterlösung hinter meiner. In der Musterlösung steht ja, dass f*(beta)=0 ist, was ich versucht habe mit dem f(w*)=0 bzw nun in "korrigierter" Form von f*(w*)=0

Weiter steht in der Musterlösung: Insbesondere ist beta(imf)= beta komponiert f(v)=0

Wenn dort eine Komposition benutzt wird, wird dann beta zu einer Abbildung, ich sage nein.
Daraus folgt in der Musterlösung, dass Beta aus dem (imf)° ist, warum ?
Für mich ist unter der Abbildung von beta der Nullvektor getroffen und das Bild des Annulators ist ja der Nullvektor. Vertausche ich grade Ideen oder Strukturen ? Hier eine gezielte Antwort könnte hilfreich sein.

Weiterhin steht in der Musterlösung, dass beta in (imf)° liegt und damit beta(f(v))=0 gilt.

Dies ist aber gleich auch f*(beta)(v)=0 und damit auch beta im ker f*.

Wird hier eine Mengengleichheit bewiesen ? Ich zeige, dass ein Element aus dem Kerf* in (imf)° enthalten ist und zeige dann, dass wenn das gleiche Element aus (imf)° folgt, dass das Element aus dem ker f* ist?

Für mich wirkt es so und oder sieht dannach aus.

Vielen Dank

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Der Kern besteht unter einer Abbildung zweier Vektorräume als die Abbildung, die den Nullvektor im Bild der Abbildung trifft.$$ f:V \rightarrow W | f(v)=0  \forall v \in V$$ Mehr wollte ich mit dem Ausdruck der Kern ist =0 nicht treffen. Formell unpräzise aber Sinngemäß ist es meiner Meinung nach okay.

Nein, Du wirfst hier einiges durcheinander. Zugegeben, das sind abstrakte Themen, umso wichtiger ist es, präzise zu arbeiten und zu formulieren

Der Kern ist auch keine Abbildung! Der Kern ist ein Vektorraum.

Verinnerliche die Definitionen von Vektorraum, Abbildung, Kern, Bild, Dualer Raum etc. aus Deinem Skript und nutze keine eigenen ‚intuitiven‘ aber leider falschen Beschreibungen.

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Okay schade :D

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Schauen wir uns das Beispiel Kern mal genauer an. Hier Deine Beschreibungen bisher:

1) Der Kern selbst ist nach Defintion gleich 0, somit sind alle im Kern enthaltenen Elemente = 0.

2) Der Kern besteht unter einer Abbildung zweier Vektorräume als die Abbildung, die den Nullvektor im Bild der Abbildung trifft.$$ f:V \rightarrow W | f(v)=0  \forall v \in V$$

3) Die richtige Definition hingegen lautet:

Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und \( f: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung.

Der Kern von \( f \) (Notation: \( \operatorname{ker}(f) \) ) ist die Menge aller Vektoren in \( V \), die durch \( f \) auf das Nullelement von \( W \) abgebildet werden:
\( \operatorname{ker}(f):=\left\{v \in V \mid f(v)=0_{W}\right\} \)
Hierbei ist \( 0_{W} \) das Nullelement im Vektorraum \( W \).

4) Was bedeutet das?

Du hast also eine lineare Abbildung f gegeben und der Kern von f besteht aus allen Vektoren aus V, die durch f auf das Nullelement im Vektorraum W abgebildet werden. Folglich ist der Kern eine Teilmenge von V, de facto sogar ein Untervektorraum von V.

Jetzt vergleiche das mit Deinen beiden Beschreibungen und versuche zu verstehen, warum diese falsch sind.

Du mußt die Natur der Objekte verstehen, mit denen Du es zu tun hast. Mathematische Sprache ist präzise und gibt Dir keinen Interpretationsspielraum. Wenn Du etwas wegläßt oder hinzufügst, ändert sich (so gut wie immer) die Aussage.

Schau Dir Dein 2) an, hier soll in der Definition f(v) = 0 sein für alle v∈V. Welche Abbildung f würde das leisten? Nur die Nullabbildung! Deine Definition sieht also ähnlich aus, liefert aber etwas völlig anderes!

Wichtig ist auch, das in f(v) = 0 die Null i.a. nicht die Zahl 0 aus dem Körper K ist sondern der Null-Vektor im Bildvektorraum W. Den Index W läßt man in der Regel aus Bequemlichkeit weg, was auf die falsche Fährte führen kann.

Das meine ich mit ‚die Natur der Dinge verstehen‘ mit denen Du es zu tun hast. Mach dasselbe für alle anderen Begriffe!

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Ich danke dir für das ausführliche Beispiel,

ich werde in den kommenden Minuten gleich weg sein vom Schreibtisch. Werde deine Bemühungen aber auch versuchen zu beherzigen. Mathe ist mein Nebenfach aber ich verstehe dein Anliegen.

Auch mit der Aussagen wie Natur der Objekte, ja Mathematik ist und bleibt halt eine Strukturwissenschaft, so Harald Lesch.

Danke dir soweit :)