Aufgabe:
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
Geben Sie eine kurze Begründung bzw. ein Gegenbeispiel an.
(a) Sei \( \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) und \( \beta:=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \).
Dann gilt: \( \quad \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \quad \) ist konvergent \( \quad \Longleftrightarrow \beta<1 \).
Falsch
(b) Jede Folge von Intervallen \( \left[a_{n}, b_{n}\right] \subset \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \), mit der Eigenschaft, dass
\( \left[a_{n+1}, b_{n+1}\right] \subset\left[a_{n}, b_{n}\right] \quad \forall n \in \mathbb{N}, \)
definiert eine Intervallschachtelung.
Richtig
(c) Jede streng monoton wachsende Funktion \( f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} \) hat eine streng monoton wachsende Umkehrfunktion.
Falsch
(d) Sei \( V=\mathbb{R}^{2} \) Vektorraum über \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \). Dann ist die Abbildung
\( \begin{aligned} f: \mathbb{R}^{2} & \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \\ \vec{v} & \longmapsto\left\langle\vec{v},\binom{1}{1}\right\rangle \cdot \vec{v} \end{aligned} \)
linear und \( \operatorname{ker}(f)=\operatorname{span}\left\{\binom{1}{-1}\right\} \).
Falsch
(e) In einem Skalarproduktraum \( V \) über dem Körper \( \mathbb{K}=\mathbb{C} \) gilt:
\( \langle\vec{x}+\vec{y}, \vec{x}+\vec{y}\rangle=\|\vec{x}\|^{2}+2 \cdot \operatorname{Re}(\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle)+\|\vec{y}\|^{2} \quad \text { für alle } \vec{x}, \vec{y} \in V \)
Richtig
(f) Eine nach unten beschränkte Folge \( \left\{b_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \), die eine konvergente Teilfolge \( \left\{b_{n_{k}}\right\}_{k \in \mathbb{N}} \) hat, ist selbst konvergent.
Falsch
(g) Sei \( \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}_{0}} \subset \mathbb{R} \) und \( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, x \in \mathbb{R} \), eine Potenzreihe mit Konvergenzradius \( R \in(0, \infty) \). Dann ist \( f:[-R, R] \rightarrow \mathbb{R} \) wohldefiniert und stetig.
Falsch
(h) Es gibt keine surjektive Abbildung \( g: \mathbb{R} \rightarrow S^{1}=\{z \in \mathbb{C}| | z \mid=1\} \).
(i) Es gibt eine komplexe Zahl \( z \in \mathbb{C} \) mit Imaginärteil gleich -5 , so dass \( \operatorname{Re}\left(z^{2}\right)=(-5)^{2} \).
Richtig
Problem/Ansatz:
Ist meine Einschätzung ok?
