Du hast gegeben: Stichprobengröße \(n = 31\), Mittelwert \(\bar{x}=74,68\) und die Standardabweichung \(\sigma=9,32\). Weil die Stichprobe groß genug ist (\(n>30)\), kannst du die z-Quantile der Normalverteilung benutzen. Deshalb kannst du jetzt folgende Formel für das Konfidenzintervall verwenden: $$\left [\bar{x}-z_{\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}\frac{\sigma }{\sqrt{n}};\; \bar{x}+z_{\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}\frac{\sigma }{\sqrt{n}} \right],$$ wobei \(\alpha = 10\%=0,1\) die Irrtumswahrscheinlichkeit ist, da es sich um das \(90\%\) Konfidenzintervall handelt. Die Quantile sind also \(z_{1-\frac{0,1}{2}}=z_{0,95}=1,6449\) laut der Quantiltabelle. Jetzt setzt du alle Werte ein und berechnest: $$\left [31-1,6449\frac{9,32 }{\sqrt{31}};\; 31+1,6449\frac{9,32 }{\sqrt{31}} \right] \approx \left [28,246; \; 33,753\right].$$ Zum Schluss noch die Länge berechnen und du bist fertig: \(33,753-28,246=5,507\).
