lösen von Betragsgleichung

Question

Aufgabe: Finde die reelle Lösung der Gleichung mithilfe von Fallununterscheidungen:

|2x-1|+|x-3|=|x-2|+|2x-3|+1

Problem/Ansatz: Ich verstehe nicht, wie ich die Fälle dafür wählen muss.

Answer 1

Du musst gucken, für welche x-Werte zwischen den Betragsstrichen Null herauskommt.

2x-1=0 → x=0,5

2x-3=0 → x=1,5

...

1. Fall x<0,5

2. Fall 0,5<x<1,5

3. Fall 1,5<x<...

...

Comments

danke!

also braucht man für diese Aufgabe nur 3 Fälle?

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also braucht man für diese Aufgabe nur 3 Fälle?

Nein - es sind 5. Monty hat die ersten drei Nullstellen nur als Beispiele genannt. Die Nullstellen in den Termen mit den Beträgen sind \(x_0 \in \{0,5;\, 1,5;\, 2;\, 3\}\) Das sind vier Grenzen. Und damit wird der Bereich der reellen Zahlen \(x \in (-\infty .. +\infty)\) in fünf Bereiche unterteilt: $$\begin{aligned} & x \lt 0,5 \\ 0,5 \le &x \lt 1,5\\ 1,5 \le &x \le 2 \\ 2 \le &x \lt 3 \\ 3 \le &x\end{aligned}$$

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Wenn man sich das als Funktionen aufzeichnet, wird es vielleicht klarer:

~plot~ abs(2x-1)+abs(x-3);abs(x-2)+abs(2x-3)+1;x=0.5;x=1.5;x=2;x=3;[[-2|5|-1|7]] ~plot~

Die Lösungen sind die Stellen, wo der blaue Graph (die linke Seite der Gleichung) mit dem roten Graph (der rechten Seite der Gleichung) zusammen fällt. Rein optisch scheint die Lösung $$\mathbb L = \{ x \in \mathbb R\mid\; x = 1 \lor 3 \le x \}$$ zu sein. Rechne es bitte nach ...

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Jetzt verstehe ich das!