Question

Finden Sie ganze Zahlen a,b,c,d, so dass für alle reellen Zahlen x,y,z gilt:

(16x+4z)²−(17x−12y)²=(ax+4z+by)(−12y+cx+dz)

Ich hatte für

a=33

b=-12

c=-1

d=4 raus.

Aber das scheint wohl nicht zu passen.

Answer 1

Hallo,

nach der dritten binomischen Formel gilt:

\((16x+4z)^2-(17x-12y)^2=(-x + 12 y + 4 z) (33 x - 12 y + 4 z)\)

Letztlich gilt also:$$(-x + 12 y + 4 z) (33 x - 12 y + 4 z)=(ax+4z+by)(−12y+cx+dz)$$ Wie wählt man nun \(a,b,c,d\in \mathbb{Z}\)? (Koeffizientenvergleich)

Comments

Achso, dazu muss ich noch Erwähnen, dass man die Aufgaben lösen sollte, ohne die Produkte auszumultiplizieren.

Ich hatte die dritte binomische Formel angewendet:

a²-b²

für a 16x+4z

und b 17x−12y

Dann kommt bei mir (16x+4z+(17x-12) * (16x+4z-(17x-12)

(33x+4z-12y) (-1x+4z+12y) raus.

Ihre Lösung ist übrigens richtig,

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Ja, die dritte binomische Formel anwenden, ist am schnellsten. Das hast du in deinem Kommentar doch auch richtig gemacht.$$(-x + 12 y + 4 z) (33 x - 12 y + 4 z)=(ax+4z+by)(−12y+cx+dz)$$ Per Koeffizientenvergleich, liest du hier \(a=-1\), \(b=12\), \(c=33\) und \(d=4\) ab.

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Könnten Sie mir noch erklären, wieso (x+4z+12y) zuerst kommt?

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@endzone

Die Multiplikation ist kommutativ. Du kannst auch:$$(33 x - 12 y + 4 z)(-x + 12 y + 4 z) =(ax+4z+by)(−12y+cx+dz)$$ schreiben.

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ah das leuchtet jetzt ein. Vielen Dank.

Answer 2

(16·x + 4·z)^2 - (17·x - 12·y)^2 = (a·x + 4·z + b·y)·(- 12·y + c·x + d·z)

- a·c·x^2 - 33·x^2 + 12·a·x·y - b·c·x·y + 408·x·y - a·d·x·z - 4·c·x·z + 128·x·z + 12·b·y^2 - 144·y^2 - b·d·y·z + 48·y·z - 4·d·z^2 + 16·z^2 = 0

- x^2·(a·c + 33) + x·(y·(12·a - b·c + 408) - z·(a·d + 4·c - 128)) + 12·y^2·(b - 12) + y·z·(48 - b·d) + 4·z^2·(4 - d) = 0

a·c + 33 = 0
12·a - b·c + 408 = 0
a·d + 4·c - 128 = 0
b - 12 = 0
48 - b·d = 0
4 - d = 0

Ich komme damit auf: a = -1 ∧ b = 12 ∧ c = 33 ∧ d = 4

Interessant ist dass du vom Betrag her die gleichen Werte bekommst. Nur nicht für die gleichen Variablen.

Comments

Ja ich frag mich auch hierbei, wo mein Denkfehler ist. Danke für die Hilfe. Die Lösung passt so.

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Ich copy/paste mal meine Antwort von oben

Achso, dazu muss ich noch Erwähnen, dass man die Aufgaben lösen sollte, ohne die Produkte auszumultiplizieren.

Ich hatte die dritte binomische Formel angewendet:

a²-b²

für a 16x+4z

und b 17x−12y

Dann kommt bei mir (16x+4z+(17x-12) * (16x+4z-(17x-12)

(33x+4z-12y) (-1x+4z+12y) raus.

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Ja ich frag mich auch hierbei, wo mein Denkfehler ist.

Das kannst letztendlich wohl nur du selber beantworten, da wir deinen Lösungsweg nicht sehen.

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(16·x + 4·z)^2 - (17·x - 12·y)^2

= ((16·x + 4·z) + (17·x - 12·y)) * ((16·x + 4·z) - (17·x - 12·y))

= (33·x - 12·y + 4·z) * (-x + 12·y + 4·z)

= (c·x - 12·y + d·z)·(a·x + b·y + 4·z)

Achte hier darauf das das -12y bei dem -12y stehen muss und nicht bei dem +12y!

Jetzt kannst du direkten Koeffizientenvergleich machen

c = 33
d = 4
a = -1
b = 12

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Vielen Dank, das hatte ich übersehen.