Lipschitz-Bedingung mit Lipschitzkonstante L auf [a, b] genügt, dann f ∈ C([a,b])

Question

Aufgabe:

Man sagt, dass eine Funktion f : [a, b] → R eine Lipschitz-Bedingung mit Lipschitzkonstante L auf [a, b] genügt, falls für jedes x, y ∈ [a, b]
|f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|

Zeigen Sie: Wenn f eine Lipschitz-Bedingung mit Lipschitzkonstante L auf [a, b] genügt, dann f ∈ C([a,b])

Problem/Ansatz:

Ich glaube dass es mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung und der Umformung zu sehen sein sollte.... jedoch stehe Ich grade total auf dem Schlauch ,so dass Ich Hilfe bräuchte den Satz darauf zu übertragen.

Answer 1

Hallo,

wenn \(\forall x,y\in [a,b]: |f(x)-f(y)|\leq L|x-y|\), dann entspricht das genau der \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Charakterisierung der Stetigkeit mit \(\delta:=\frac{\varepsilon}{L}\). Genauer sogar der gleichmäßigen Stetigkeit. Denn sei \(|x-y|\leq \delta\), dann gilt mit \(\delta:=\frac{\varepsilon}{L}\) dass $$|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|<L\cdot \delta =\varepsilon$$

Für den Sonderfall, dass \(L=0\), erhältst du \(|f(x)-f(y)|\leq 0 \Rightarrow |f(x)-f(y)|=0 \Rightarrow f(x)=f(y)\) für alle \(x,y\in [a,b]\). Damit ist \(f\) konstant und damit auch gleichmäßig stetig.