f : [a;b] → ℝ , f(x) = x2 + 4
f ist Lipschitz-stetig, wenn es eine Konstante L∈ℝ gibt, so dass für alle x1 , x2 ∈ [a;b] gilt
| f(x1) - f(x2) | ≤ L • | x1 - x2 | [#]
Es gilt:
| f(x1) - f(x2) | = | x12 + 4 - (x22 + 4) | = | x12 - x22 |
= | (x1 + x2) • (x1 - x2) |
= | x1 + x2 | • | x1 - x2 | [ wegen |a • b| = |a| • |b| für alle a,b∈ℝ ]
≤ M • | x1 - x2 | , wobei M = Maximum von | x1 + x2 | für x1,x2 ∈ [a;b] ist
= | max(|a|,|b|) + max(|a|,|b|) | • | x1 - x2 |
= 2 • max(|a|,|b|) • | x1 - x2 |
Mit L = 2 • max(|a|,|b|) ist die Bedingung [#] also erfüllt.
Gruß Wolfgang
