Finde den Grenzwert Konvergenezverhalten

Question

Aufgabe:

n*((1/\( \sqrt{n+2} \))-(1/\( \sqrt{n} \))

Finde den Grenzwert.

Der Grenzwert sollte doch 0 sein. Ich komme jedoch die ganze Zeit auf unendlich.

Kann mir jemand helfen.

Answer 1

was hast du denn gemacht? warum schreibst du das nicht?

Brüche auf den Hauptnenner bringen, mit der Summe der Wurzeln im Zähler erweitern (3.binom) dann solltest du es sehen.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

$$a_n=n\left(\frac{1}{\sqrt{n+2}}-\frac{1}{\sqrt n}\right)=n\left(\frac{\sqrt n}{\sqrt n\sqrt{n+2}}-\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt n\sqrt{n+2}}\right)=n\,\frac{\sqrt n-\sqrt{n+2}}{\sqrt n\sqrt{n+2}}$$$$\phantom{c_n}=n\,\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{n^2+2n}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}\cdot\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$$$$\phantom{c_n}=\frac{n-(n+2)}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}\cdot(\sqrt{n}+\sqrt{n+2})}=\frac{-2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}\cdot(\sqrt{n}+\sqrt{n+2})}\to0$$