Aloha :)
Ich schreibe im Folgenden \(x\) und \(y\) anstatt \(x_1\) und \(x_2\), um Indizes zu sparen...
Die Kostenfunktion $$C(x,y)=80x+77y$$soll unter der Nebenbedingung$$F(x,y)=6x^2+77xy+17y^2\stackrel!=4801$$ optimiert werden. Die Lagrange-Funktion dazu lautet:$$L(x,y,\lambda)=80x+77y-\lambda(6x^2+77xy+17y^2-4801)$$
Das Rechnen mit der Lagrange-Funktion ist oft viel zu aufwändig, insbesondere wenn (wie hier) gar nicht nach dem Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) gefragt wird. Einfacher geht es mit der Kern-Idee von Lagrange. In einem Extremum müssen der Gradient der Funktion und der Gradient der Nebenbedingung kollinear sein (also parallel oder anti-parallel). Das heißt, wenn man beide Gradienten als Spalten in eine Determinante schreibt, muss diese null sein:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{cc}\partial_xC & \partial_xF\\\partial_yC & \partial_yF\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}80 & 12x+77y \\77 & 77x+34y\end{array}\right|=80(77x+34y)-77(12x+77y)$$$$\phantom{0}=6160x+2720y-924x-5929y=5236x-3209y$$Die erhaltene Forderung \(y=\frac{5236}{3209}x\) setzen wir in die Nebenbedingung ein und erhalten \(x\):$$\left.6x^2+77x\cdot\frac{5236}{3209}x+17\cdot\left(\frac{5236}{3209}x\right)^2=4801\quad\right|$$$$176,89729037x^2=4801$$$$x=\pm\sqrt{\frac{4801}{176,89729037}}\approx\pm5,20961060$$Die negative Lösung scheidet aus, da es keine negativen Produktionsmengen gibt.$$y=\frac{5236}{3209}\,x\approx8,50031820$$
Die minimalen Kosten sind daher: \(\boxed{C_{\text{min}}=1\,071,29}\)
