0 Daumen
383 Aufrufe

Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Herstellers laute

F(x1,x2) = 6*x1^2 + 77*x1*x2 + 17*x2^2

Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Faktorpreisen 80 und 77, wenn ein Produktionsniveau von 4801 erzielt werden soll.

Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Problem/Ansatz:

s.t. C(x) = 80*x1 + 77*x2 = 4801

L = 6*x1^2 + 77*x1*x2 + 17*x2^2 - λ *(80*x1 + 77*x2 - 4801)

L´x1 = 17*x2^2 + 12*x1 - λ80

L´x2 = 6*x1^2 + 34*x2 - λ77

L´λ = 80*x1 + 77*x2 - 4801

Stimmt das so und wie komme ich dann hier weiter auf das Ergebnis?

Ich komme hier nicht weiter.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Ich schreibe im Folgenden \(x\) und \(y\) anstatt \(x_1\) und \(x_2\), um Indizes zu sparen...

Die Kostenfunktion $$C(x,y)=80x+77y$$soll unter der Nebenbedingung$$F(x,y)=6x^2+77xy+17y^2\stackrel!=4801$$ optimiert werden. Die Lagrange-Funktion dazu lautet:$$L(x,y,\lambda)=80x+77y-\lambda(6x^2+77xy+17y^2-4801)$$

Das Rechnen mit der Lagrange-Funktion ist oft viel zu aufwändig, insbesondere wenn (wie hier) gar nicht nach dem Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) gefragt wird. Einfacher geht es mit der Kern-Idee von Lagrange. In einem Extremum müssen der Gradient der Funktion und der Gradient der Nebenbedingung kollinear sein (also parallel oder anti-parallel). Das heißt, wenn man beide Gradienten als Spalten in eine Determinante schreibt, muss diese null sein:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{cc}\partial_xC & \partial_xF\\\partial_yC & \partial_yF\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}80 & 12x+77y \\77 & 77x+34y\end{array}\right|=80(77x+34y)-77(12x+77y)$$$$\phantom{0}=6160x+2720y-924x-5929y=5236x-3209y$$Die erhaltene Forderung \(y=\frac{5236}{3209}x\) setzen wir in die Nebenbedingung ein und erhalten \(x\):$$\left.6x^2+77x\cdot\frac{5236}{3209}x+17\cdot\left(\frac{5236}{3209}x\right)^2=4801\quad\right|$$$$176,89729037x^2=4801$$$$x=\pm\sqrt{\frac{4801}{176,89729037}}\approx\pm5,20961060$$Die negative Lösung scheidet aus, da es keine negativen Produktionsmengen gibt.$$y=\frac{5236}{3209}\,x\approx8,50031820$$

Die minimalen Kosten sind daher: \(\boxed{C_{\text{min}}=1\,071,29}\)

Avatar von 148 k 🚀

Super, vielen dank für die ausführliche und schnelle Erklärung mit Rechenweg, das war genau das was ich gebraucht habe!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community