Wie kann man diese DGL lösen?

Question

Aufgabe:

Wie kann man diese DGL lösen?

Problem/Ansatz:

$$\frac{U_0-U_c}{R}=C\dot U$$ wobei die RS: U Punkt darstellen soll. Man soll das anscheinend mit Trennung der Variablen lösen.

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Vom Duplikat:

Titel: Weiß jemand mit welchem Verfahren ich diese DGL lösen kann?

Stichworte: gleichungen,differentialgleichung

Aufgabe

Weiß jemand mit welchem Verfahren ich diese DGL lösen kann?

Problem/Ansatz:

DGL:

$$\frac{U_0-U_c}{R}=C\dot U$$

Man soll das anscheinend mit Trennung der Variablen lösen. Auf wikipedia gesehen, dass man die DGL irgendwie mit einem Exponentialansatz lösen soll, um auf das richtige Endergebnis: U0*(1-exp(-$\frac{t}{RC}$)) zu kommen, aber das verwirrt mich. Diese DGL soll den Aufladevorgang eines Kondensators beschreiben. Wobei die Randbedingung exp –> 0 sein soll. Welches Verfahren muss ich nun verwenden, um auf U0*(1-exp(-$\frac{t}{RC}$)) zu kommen?

Answer 1

Aloha :)

Da auf der linken Seite nur Konstanten stehen, brauchst du nur zu integrieren:$$U=\int\,\dot U\,dt=\int\frac{U_0-U_c}{RC}\,dt=\frac{U_0-U_c}{RC}\,\cdot t+\text{const}$$

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Vielen Dank Tschakabumba! Ich hätte dann noch eine Frage und zwar habe ich auf wikipedia gesehen, dass man die DGL irgendwie mit einem Exponentialansatz lösen soll, um auf das richtige Endergebnis: U0*(1-exp(-$\frac{t}{RC}$)) zu kommen, aber das verwirrt mich. Diese DGL soll den Aufladevorgang eines Kondensators beschreiben. Wobei die Randbedingung exp->0 sein soll.

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Eine solche Lösung kommt heraus, wenn $U_c$ nicht konstant ist, sondern stattdessen $U$ in der Gleichung steht:$$\frac{U_0-U}{R}=C\dot U\quad\Rightarrow\quad\dot U=\frac{U_0-U}{RC}=\frac{U_0}{RC}-\frac{U}{RC}$$Der erste Summand ist eine "Störung" der homogenen DGL. Diese Störung lassen wir zunächst weg und lösen die homogene DGL:$$\left.\dot U_h=-\frac{1}{RC}\,U_h\quad\right|\quad\dot U_h=\frac{dU_h}{dt}\text{ links einsetzen}$$$$\left.\frac{dU_h}{dt}=-\frac{1}{RC}\,U_h\quad\right|\quad\cdot dt$$$$\left.dU_h=-\frac{1}{RC}\,U_h\,dt\quad\right|\quad\div U_h$$$$\left.\frac{1}{U_h}\,dU_h=-\frac{1}{RC}\,dt\quad\right|\quad\text{beide Seiten integrieren}$$$$\left.\ln|U_h|=-\frac{t}{RC}+c_1\quad\right|\quad c_1=\text{const}\quad;\quad e^{\cdots}$$$$\left.|U_h|=e^{-\frac{t}{RC}+c_1}=e^{-\frac{t}{RC}}\cdot e^{c_1}\quad\right|\quad c_h\,:\!=e^c_1=\text{const}$$$$U_h=c_h\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$$

Jetzt müssen wir noch den Störterm $\frac{U_0}{RC}$ berücksichtigen. Dazu tun wir so, als wäre die Konstante $c_h$ von der Zeit abhängig $c_h=c_h(t)$ und setzen die homogene Lösung in die DGL ein. Erstmal bestimmen wir die Ableitung$$\dot U_h=\left(c_h\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\right)'=\dot c_h\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+c_h\cdot\left(-\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\right)$$$$\phantom{\dot U_h}=\left(\dot c_h-\frac{c_h}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$$und setzen nun ein:

$$\left.\left(\dot c_h-\frac{c_h}{RC}\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}=\frac{U_0}{RC}-\frac{c_h}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\quad\right|\quad+\frac{c_h}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}$$$$\left.\dot c_h\cdot e^{-\frac{t}{RC}}=\frac{U_0}{RC}\quad\right|\quad\cdot e^{\frac{t}{RC}}$$$$\left.\dot c_h=\frac{U_0}{RC}\cdot e^{\frac{t}{RC}}\quad\right|\quad\text{integrieren}$$$$c_h=U_0\cdot e^{\frac{t}{RC}}+c$$Wir setzen dieses $c_h$ in unsere homogene Lösung von oben ein und finden:$$U=\left(U_0\cdot e^{\frac{t}{RC}}+c\right)\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$$$$U=U_0+c\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$$Die Konstante $c$ muss aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. In der Regel ist das beim Laden eines Kondensators $U_0=0$. Das heißt:$$0=U(0)=U_0+c\quad\Rightarrow\quad c=-U_0$$Nun haben wir alles:$$U(t)=U_0-U_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$$

Answer 2

Hallo

du schreibst das falsch auf? rechts U' links kein U?

also richtig U'=-U/RC +U0/RC eine inhomogene  lineare DGL man löst sie, indem man die homogene löst also

U'=-1/RC* U und sieht hoffentlich dass das durch U=K*e^-t/RC gelöst wird, wenn nicht , schreib dU/U=.1/RC dt

und integriere, Dann  entweder Variation der Konstanten oder einfacher Ansatz  einer partikulären Losung U=A, A bestimmen und zu der Lösung der homogenen addieren  dann K bestimmen durch U(0)=0  oder U(oo)=U0

da es sch um U_C handelt ist U0 die anliegende Spannung nicht U(0)

Gruß lul