Hallo,
die eingerahmte DGL b(iv) ist eine Bernoulli DGL.
Struktur:
y' +g(x) y= h(x) yn
y' = -((y2+xy)/(1+x2))
y' =(-y2)/(1+x2) -(xy)/(1+x2) | +-(xy)/(1+x2)
y' + (xy)/(1+x2) =(-y2)/(1+x2)
y' + ((x)/(1+x2)) *y =(-1)/(1+x2) *y2 ->hat jetzt die geforderte Struktur
----->
n=2
z=1/y ; (z=y/yn)
y=1/z ;(y=z^(1/(1-n)))
y'=(-1)/z2 *z' ; y'= 1/(1-n) *z^((n/(1-n))) *z'
->in die DGL eingesetzt:
z' - (x/(1+x2)) *z =1/(1+x2)
weiter mit Variation der Konstanten, dann resubstuieren
Lösung:
\( y(x)=\frac{1}{c_{1} \sqrt{x^{2}+1}+x} \)
zum Schluß noch die AWB einsetzen: y(0)=-2
\( y(x)=-\frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}-2 x} \)