Betragsgleichung | 5x - 9 | = 15 - x²

Question

ich muss diese Betragsgleichung lösen. Eure Hilfe wäre sehr schön :) 
| 5x - 9 | = 15 - x²

Answer 1

|5x-9|=15-x^2 Nun quadrieren:

(5x-9)^2=(15-x^2)^2

(5x-9)^2-(15-x^2)^2=0

3.Binom

[(5x-9)+(15-x^2)]*[(5x-9)-(15-x^2)]=0

[5x+6-x^2]*[5x-24+x^2)]=0

5x+6-x^2=0

x_1=-1

x_2=6

5x-24+x^2=0

x_3=-8

x_4=3

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, darum Probe:

|5x-9|=15-x^2

x_1=-1

|-5-9|=15-1

14=14-> x_1 ist eine Lösung

x_2=6

|5*6-9|=15-36

21!=-21->x_2 ist keine Lösung

x_3=-8

|-40-9|=15-64

49!=-49->x_3 ist keine Lösung

x_4=3

|15-9|=15-9

6=6-> x_4 ist eine Lösung

mfG

Moliets

Comments

Vielen Dank, ich habe meinen Fehler gefunden. Ich hatte bei der Nullstellenberechnung aufgrund eines einfachen Fehler (man kann es evlt. ahnen) eine negative Wurzel. :)

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Ist die Variante mit Quadrieren immer möglich? Ich kenne das nur mit Fallunterscheidung.

MfG

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Quadrieren und Fallunterscheidungen sind 2 Wege, um zu Lösungen zu kommen.

Beim Quadrieren musst du Proben machen, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

Um beim Beispiel | 5 x - 9 | = 15 - \( x^{2} \)  zu bleiben, gehe ich bei Fallunterscheidungen so vor:

1. Fall:

( 5 x - 9 ) ≥ 0

x ≥ \( \frac{9}{5} \)

5 x - 9  = 15 - \( x^{2} \)

x ₁  =  - 8  →  - 8  entfällt als Lösung

x₂ = 3 ist eine Lösung

2. Fall:

( 5 x - 9 ) < 0

x <  \( \frac{9}{5} \)

- ( 5 x - 9)   =  15 - \( x^{2} \)

x ₃ = -1  ist eine Lösung

x ₄ = 6  entfällt als Lösung

mfG

Moliets

Answer 2

Betrachte einfach die beiden Möglichkeiten:

(1.)   | 5x - 9 | =  5x - 9

(2.)  | 5x - 9 | =  - (5x - 9)  =  9 - 5x

Comments

Du hast vergessen, die Bereiche anzugeben.

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Soll dieser Kommentar mir gelten ?

Natürlich prüft man die erhaltenen Lösungen am Ende der Rechnung einfach durch Einsetzen in die Originalgleichung !  Das gehört dazu.

Answer 3

$$| 5x - 9 | = 15 - x^2$$

1.Fall

$$ x=9/5$$

0≠15-81/25

Scheitert

2.Fall

$$x>9/5$$$$5x-9=15-x^2$$$$x^2+5x-24=0$$$$x_1=-5/2+\sqrt{25/4+96/4} $$$$x_1=-5/2+11/2=3$$

3.Fall
$$x<9/5$$$$-5x+9=15-x^2$$$$x^2-5x-6=0$$$$x_2=5/2- \sqrt{25/4+24/4} $$$$x_2=5/2-7/2=-1$$

Comments

Auch dir vielen Dank!

Answer 4

Quadrieren geht nicht immer.
Nach meinen Erfahrungen höchstens in 10 % der Fälle

(1.) 
(1.)  | 5x - 9 | =  5x - 9
5x - 9 ≥ 0
5x ≥ 9
x ≥ 9/5
5x - 9 = 15 - x^2
x = -8
x = 3

( x = -8 ) und ( x ≥ 9/5 )
keine Schnittmenge

( x = 3 ) und ( x ≥ 9/5 )
x = 3

Dasselbe für
(2.) | 5x - 9 | =  - (5x - 9)  =  9 - 5x machen

Bei Bedarf nachfragen.

Answer 5

Es gibt zwei Lösongen: x=-1 und x=3.

:-)