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Hi, Ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Eine Funktion \( u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) heißt harmonisch, wenn \( \Delta u:=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \) (Laplace'sche
Differentialgleichung).
(a) Zeigen Sie, dass \( u(x, y)=e^{-x}(x \cos (y)+y \sin (y)) \) harmonisch ist.
(b) Bestimmen Sie eine Funktion \( v: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( v(0,0)=0 \) so, dass \( u \) und \( v \) die CauchyRiemannschen Differentialgleichungen erfüllen. (Dann ist \( u+i v \) eine holomorphe Funktion.)
(c) Schreiben Sie \( f=u+i v \) mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion als Funktion von \( z=x+i y \)
(d) Beweisen Sie, dass jede zweimal differenzierbare holomorphe Funktion harmonisch ist.


Kann mir jemand helfen wie man diese Beweise ausführt und in b) das berechnet, ich habe da Schwierigkeiten. Vielen Dank!

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Vielen Dank!

2 Antworten

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Hallo

a) ist nur differenzieren und einsetzen, was daran kannst du nicht.

b) kannst du, wenn du d liest.

erstmal soweit, dann versuch mal eigene Ideen

lul

Avatar von 106 k 🚀
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Hi,

zu (a)

Differenzieren und einsetzten


zu (b)

Es soll gelten $$ (1) \quad u_x(x,y) = v_y(x,y) $$ und $$ (2) \quad u_y(x,y) = -v_x(x,y) $$

Also gilt $$ v(x,y) = \int_0^y u_x(x,\eta) d\eta +f(x)  $$ und $$   v(x,y) = \int_0^x u_x(\xi,y) dy +g(y) $$ Wegen \( v(0,0) = 0 \) folgt \( f(0) = g(0) = 0\) Wähle \( f(x) = g(y) = \) dann ergibt sich $$ v(x,y) = -e^{-x} ( x \sin(y) -y \cos(y) ) $$ Nachrechnen ergibt, dass \( u(x,y) \) und \( v(x,y) \) die Cauchy-Riemannschen Dgl. erfüllen.


zu (d)

Siehe http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Komplexe_Analysis/Folien_Cauchy-Riemannsche_Differentialgleichungen.pdf

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