Steckbriefaufgaben Funktionsgleichung nennen

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion \( 2 . \) Grades \( f(x)=a x^{2}+b x+c \) hat ein Extremum bei \( x=1 \) und schneidet die \( x \) -Achse bei \( x=4 \) mit der Steigung \( 3 . \) Wie lautet die Funktionsgleichung?

Ich weiß gar nicht weiter ..

Answer 1

Hallo Hatice,

folgende Voraussetzungen:

$$f(x)=ax^3+cx\\ f'(x)=3ax^2+c\\[20pt] g(x)=2x^3+0,5x\\ g'(x)=6x^2+0,5 $$

Wir haben nur "x" mit ungeraden Exponenten, da die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Wenn ein Graph einen anderen senkrecht schneidet, gilt in dem Punkt für die Steigungen = Ableitungen

$$m_2=-\frac{1}{m_1}$$

Hat beispielsweise die 1. Funktion an der Stelle die Steigung 4, so hat die senkrecht darauf stehende Funktion die Steigung -\( \frac{1}{4} \) .

Das heißt in diesem Fall \(g'(0)=0,5\Rightarrow f'(0)=-2\). Bilde daraus die entsprechende Gleichung.

Die zweite Gleichung erhältst du aus der Information

Ein zweiter Schnittpunkt mit g liegt bei x = 1

g(1) kannst du ausrechnen, indem du für x die 1 in g(x) einsetzt.

Dann setzt du f(1) = g(1) und bestimmst damit a. (c ergibt sich aus der 1. Gleichung.)

Wenn noch etwas unklar ist, melde dich bitte.

Gruß, Silvia

Answer 2

3.) Eine ganzrationale Funktion 2. Grades f(x)= a* x^2+b x+c hat ein Extremum bei x=1 und schneidet die x -Achse bei x = 4  mit der Steigung 3 . Wie lautet die Funktionsgleichung ?

Da das Extremum bei x=1 liegt und die x-Achse bei x=4 geschnitten wird, liegt die 2. Nullstelle bei x =  - 2.

Allgemeine Nullstellenform der Parabel 2. Grades:

f(x)=a(x-N1)(x-N2)

f(x)=a (x - 4 )( x + 2 ) =  a* ( x^2 - 2x - 8 )

f ´ ( x ) = a*(2 x - 2)

Steigung 3 bei  N₂ (  4| 0 )

f ´ ( 4 ) = a*(2*4 - 2  )

a*6=3

a= 1/2

f(x)=1/2(x-4)(x+2)= 1/2x^2-x-4

mfG   Moliets