Zeige, dass das Gleichungssystem

Question

Aufgabe:

Es seien a, b ∈ R reelle Zahlen. Zeige, dass das Gleichungssystem
x + ay + bz = 0
bx + y + az = 0
ax + by + z = 0
genau dann eine von (0, 0, 0) verschiedene Lösung hat, wenn entweder a = b = 1 oder a+b+1 = 0
gilt. Bestimme in beiden Fällen die genaue Lösungsmenge.

Problem/Ansatz:

Also wie muss ich dort vorgehen ?

1 a b 0

b 1 a 0

a b 1 0

Ich kann das LGS doch nicht weiter umformen oder?

Setze ich einfach für a und b =1 ein um a=b=1 zu beweisen.

Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch , freue mich über jede Hilfe :)

Comments

Tipp: \(\det\begin{pmatrix}1&a&b\\b&1&a\\a&b&1\end{pmatrix}=\big(a+b+1\big)\cdot\big((a-1)^2-(a-1)(b-1)+(b-1)^2\big)\).

Answer 1

Ich kann das LGS doch nicht weiter umformen oder?  doch:

1 a b 0  | *-b zur 2. addieren und   | *-a zur 3. addieren
b 1 a 0
a b 1 0

1   a       b     0  
0 1-ab a-b^2  0
0 b-a^2 1-ab  0

etc.

Aber mit der Det. ist es einfacher.