Question

Aufgabe: Vollständige Induktion mit Teilbarkeit

1+\( 2^{(2^{n})} \) +\( 2^{(2^{n+1})} \)  = 7k

soll ohne Rest durch 7 Teilbar sein.

Indem ich für n= n+1 eingesetzt habe und etwas umgeformt habe, bin ich zu folgender Gleichung gekommen:

1+\( (2^{2^{n}})^{2} \) + \( (2^{2^{n+1}})^{2} \) =7k

Weiß jemand wie ich weiter vorgehen müsste, falls es bis hier hin stimmt?

Wie immer für jede Hilfe Dankbar

Answer 1

Hallo :) Ich hätte es jetzt so gemacht:

Ind.Anfang: Sei n= 1, setze alles ein und erhalte dann : 1+4+16= 21 und dann 3k=21 ⇒ k= 7 somit gilt der I.A.

Ind.Vor. : Es ex. ein beliebiges,aber festes n∈ℕ für welches gilt: 1+\( 2^{(2^{n})} \) +\( 2^{(2^{n+1})} \)  teilbar mit 7.

I.S. Z.z. wenn es für n gilt, dann auch für n+1. Somit : 1+\( 2^{(2^{n+1})} \) +\( 2^{(2^{n+2})} \) =7k

Schauen wir uns nun die linke Seite :

1+\( 2^{(2^{n+1})} \) +\( 2^{(2^{n+2})} \)  = 1+\( 2^{(2^{n})} \) * \( 2^{(2^{n})} \)+ \( 2^{(2^{n+1})} \) * \( 2^{(2^{n+1})} \)

Möchtest Du probieren weiter zu machen ? :)

Comments

Hi erstmal danke das du mir helfen willst:)

Im Endeffekt ist ja dein letzter Term der gleiche wie meiner oder?

Ich verstehe nicht wie ich diesen noch umstellen soll, damit die induktionsvoraussetzung zu stande kommt.