Bestimme alle a∈ℝ, für die f_a selbstadjungiert ist

Question

Aufgabe:

<•,•>: ℝ^3xℝ^3→ℝ, (x,y) ↦

x^T ×\( \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 3  \end{pmatrix} \) ×y

a) bestimme alle a∈ℝ, für welche f_a: ℝ^3→ℝ^3, x↦\( \begin{pmatrix} 4 & 10-2a^2 & 13-6a \\ -1 & a^2-3 & 6a-13 \\ -2 & 2a^2-10 & 4a-7  \end{pmatrix} \) ×x

Selbstadjungiert ist.

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Formel für selbstadjungierte f: <f(x),y>=<x,f(y)>

Meine Idee ist es einmal <f(x),y> auszurechnen und einmal <x,f(y)>, um dann zu zeigen das sie gleich sind um so die a's zubestimmen.

Jetzt habe ich versucht die Matrix von f als x in das skalarprodukt zusetzen, weiß allerdings nicht was ich als y nehmen soll.

Hat jemand einen Tipp wie diese Aufgabe geheb könnte?

Comments

Hallo,

wenn f durch eine Matrix A gegeben ist, dann ist f selbstadjungiert genau dann, wenn die Matrix A symmetrisch ist. Solltest Ihr dieses Ergebnis nicht kennen, dann benutze in der Definition \(x=e_i\) und \(y=e_j\) mit den Standard-Einheitsvektoren.

Gruß

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Also reicht es hier, wenn ich die a∈ℝ angebe für die die Matrix aus f symmetrisch ist?

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Ja, das reicht - wenn Ihr das besprochen habt.

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Aber dann habe ich das <•,•> nicht benutzt.

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Entschuldigung, das hatte ich überlesen: Es geht um ein spezielles Skalarprodukt. Wenn wir die Matrix, die das Skalarprodukt definiert mit M bezeichnen und die Matrix, die f definiert mit A, dann wäre:

$$<Ax,y>=(Ax)^TMy=x^TA^TMy$$

und

$$<x,Ay>=x^TMAy$$

Also muss gelten: \(A^TM=MA\).

Gruß

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Achso danke dir! :)