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Wie bestimme ich mithilfe der Basis \( M=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)\right\} \) im \( R^{2} \rightarrow R^{4} \), mit \( f\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \) und \( f\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), f\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \) und \( f\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \)?

Muss ich erst das Bild von der Basis ermitteln, wenn ja wie würde der Ansatz dazu lauten?

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Schreibe die abzubildenden Vektoren als Summe der Basisvektoren.

$$\binom{1}{0} = \frac{1}{2} \left( \binom{1}{1} +\binom{1}{-1} \right) \text{ und } \binom{0}{1} = \frac{1}{2} \left( \binom{1}{1} -\binom{1}{-1} \right)$$

Ist f linear (davon gehe ich hier aus; aus der Aufgabenstellung geht das nicht wirklich hervor), so gilt also $$f(\binom{1}{0})=\frac{1}{2} \left( f(\binom{1}{1}) +f(\binom{1}{-1}) \right) \text{   und } f(\binom{0}{1}) = \frac{1}{2} \left( f(\binom{1}{1}) -f(\binom{1}{-1}) \right)$$

P.S. Abbildungen haben keine Basen. Ein Vektorraum hat eine Basis.
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Vielen Dank für die schnelle antwort :)

gilt dies bezüglich auch der matrizen? Ja und f ist lineare, habe dies in der frage wohl vergessen mit einzubringen.
Ich sehe hier nirgends Matrizen, nur Vektoren.
ah wo du es sagst ist mir grad selbst nicht aufgefallen lag wohl an der überschrift der Aufgabe Matrix und Lineare Abbildungen. vielen dank nochmal

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