Zeigen Sie durch einen direkten Beweis, dass

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie durch einen direkten Beweis, dass

\( \sum\limits_{k=0}^{n}{q ^ k}  = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \)

für alle reellen Zahlen q≠ 1 und alle n ∈ ℕ gilt.

Problem/Ansatz:

Direkter Beweis:

• Man möchte A ⇒ B zeigen

• Hierzu zerlegt man A ⇒ B in eine Reihe von einfacheren Implikationen

• verwendete Tautologie: (A ⇒ B) ⇔ (A ⇒ C) ∧ (C ⇒ B)

Wie soll ich anfangen? Was kann ich für A, B und C schreiben?

Answer 1

Aloha :)

Wir definieren:$$S_n\;:\!=\sum\limits_{k=0}^n q^k\quad;\quad q\ne1$$multiplizieren \(S_n\) mit \(q\) und subtrahieren das Ergebnis von \(S_n\):

$$S_n-q\cdot S_n=\sum\limits_{k=0}^n q^k-q\cdot\sum\limits_{k=0}^n q^k=\sum\limits_{k=0}^n q^k-\sum\limits_{k=0}^n q^{k+1}$$$$\phantom{S_n-q\cdot S_n}=\left(q^0+\sum\limits_{k=1}^nq^k\right)-\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^{k+1}+q^{n+1}\right)=\left(1+\sum\limits_{k=1}^nq^k\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n}q^{k}+q^{n+1}\right)$$$$\phantom{S_n-q\cdot S_n}=1-q^{n+1}$$$$\Longrightarrow\quad(1-q)\cdot S_n=1-q^{n+1}$$$$\Longrightarrow\quad S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort aber warum multiplizieren \(S_n\) mit \(q\) und subtrahieren das Ergebnis von \(S_n\). Also wie soll ich es verstehen wenn ich allein bin?

---

Dadurch bekommen wir eine sogenannte "Teleskopsumme", bei der sich fast alle Terme gegenseitig wegheben. Wenn man diesen "Trick" noch nie gesehen hat, kommt man da vermutlich nicht drauf. Aber jetzt kennst du ihn ja ;)

---

  Wie haben wir in der Zeile zwei n-1 und q^n+1 bekommen?

---

Wir haben das letzte Element der Summe losgelöst:

$$\sum\limits_{k=0}^nq^{k+1}=\underbrace{q^1+q^2+q^3+\cdots+q^n}_{=\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^{k+1}}+q^{n+1}$$