Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen a

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen a folgende Behauptung:
a hoch 3 + 1 ist gerade ⟹ a ist ungerade

Problem/Ansatz:

Also ich dachte, dass man das mit dem indirekten Beweis beweisen kann, jedoch komm ich nicht so weiter.. Wäre sehr nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte :)

Answer 1

a hoch 3 + 1 ist gerade  

==>  Es gibt ein b ∈ℕ mit a^3 + 1 = 2*b

                    ==>    a^3 = 2b-1

       ==>  a^3 enthält nicht den Primteiler 2, denn 2b ist durch 2 teilbar,

                       1 aber nicht.

      ==>   a enthält nicht den Primteiler 2,

      ==>   a ist ungerade.

Answer 2

Also ich dachte, dass man das mit dem indirekten Beweis beweisen kann,

Warum tust du es dann nicht???

Die Behauptung war

a ist ungerade

Die Gegenannahme ist dann: "a ist gerade".

Was folgt aus der Gegenannahme für die Potenz a³?

Was folgt daraus für ihren Nachfolger a³+1?

Wozu steht diese Folgerung im Widerspruch?