Vollständige Induktion Summe Ungleichung

Question

Aufgabe:

wie beweist man das mit vollständiger Induktion?

\( \sum \limits_{k=2}^{n} \frac{2 k-3}{3^{k}}<1-\frac{n}{3^{n}} \)

Answer 1

Schaffst du nicht mal den Induktionsanfang indem du für n einfach mal 2 einsetzt und die Gültigkeit zeigst?

Comments

Induktionsvoraussetzung, -anfang und schritt hab ich schon aufgeschrieben aber das jetzt umzuformen damit die Ungleichung stimmt schaff ich nicht

---

Zeige doch mal das, was du bis jetzt hast soweit wie du kannst.

---

\( \sum \limits_{k=2}^{n} \frac{2 k-3}{3^{k}}+\frac{2(n+1)-3}{3^{n+1}}<1-\frac{n}{3^{n}}+\frac{2(n+1)-3}{3^{n+1}}<1-\frac{n+1}{3^{n+1}}=1-\left(\frac{n}{3^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right) \cdot \frac{1}{3} \)

Meiner Meinung nach wär ich jetzt hier schon fertig mit der Induktion aber ich zweifle wie gesagt an der Richtigkeit

---

Folgendes ist verkehrt

1 - n/3^n + (2·(n + 1) - 3)/3^(n + 1) < 1 - (n + 1)/3^(n + 1)

Dort gehört statt einem < ein = hin.

Aber wenn du zu Anfang die Summe durch die Induktionsvoraussetzung ersetzt, dann erhältst du einen Term der echt größer ist und darfst das < durch ein <= ersetzen. Dann wärst du bereits fertig.

Mir ist nicht klar, warum du den Term am Ende nochmals anders geschrieben hast.

---

Ah Dankeschön! Dass die beiden Terme äquivalent sind hab ich gar nicht gesehen. Jetzt ist alles klar, danke!