Satz von Stokes - Vektorfeld - Berechnen - Universität

Question

Text erkannt:

Gegeben ist die Fläche
$$S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leq 4, z=8-\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}\right\}$$
und das Vektorfeld $v$ mit $v(x, y, z)=\left(y^{3}, 0,0\right)^{\top}$.
(a) Skizzieren Sie $S$.
(b) Verwenden Sie den Satz von Stokes, um
$$\int \limits_{S} \operatorname{rot} v \cdot \overrightarrow{\mathrm{d} A}$$
zu berechnen.

Ich brauche Hilfe bei dem Aufgabenteil b) Habe leider keinen Ansatz, wie ich hier vorgehen muss. Bitte um Lösungsvorschläge.

Answer 1

Aloha :)

Die gegebene Fläche $S$ schreit laut nach der Verwendung von Zylinderkoordinaten:

$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\8-r^3\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$

Mit dem Satz von Stokes (symbolisch: $\,d\vec A\times\vec\nabla=d\vec r\,$) berechnen wir nun:

$$I=\int\limits_S\operatorname{rot}\vec v\,d\vec A=\int\limits_S(\vec\nabla\times\vec v)\,d\vec A=\int\limits_S(d\vec A\times\vec\nabla)\,\vec v=\oint\limits_{\partial S}d\vec r\,\vec v$$Beim Übergang von einem Flächenintegral zum Linienintegral müssen wir die Fläche geschlossen umranden. Daher halten wir den Radius $r=2$ konstant und tasten mit $\varphi$ den Rand der Fläche ab.

$$I=\oint\limits_0^{2\pi}\vec v\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}(r\sin\varphi)^3\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}-r^4\sin^4\varphi\,d\varphi$$$$\phantom{I}=-r^4\int\limits_0^{2\pi}\sin^4\varphi\,d\varphi=-r^4\cdot\frac{3\pi}{4}=-12\pi$$

Comments

Aber müsste der Radius nicht 2 sein, weil das Quadrat aus x und y ist doch 4?

---

Oha, stimmt, du hast mich erwischt. Es ist ja $x^2+y^2=r^2=4$. Natürlich hast du Recht. Vielen Dank für die Rückmeldung, du hast nicht nur einen Fehler gefunden, sondern mir auch gezeigt, dass du dich wirklich mit der Lösung beschäftigst. Dann weiß ich auch, dass sich Antworten auf deine Fragen lohnen ;)

Ich korrigiere den Bug jetzt sofort...

---

Trotzdem vielen Dank! Lernt man ja auch nichts bei, wenn man abschreibt. Ich schaue mir die Aufgaben schon genau an und versuche sie bestmöglich zu verstehen.

---

Hallo Tschakabumba,

wäre es nicht einfacher gewesen, das Integral über die Rotation zu berechnen?

 ∫ sin⁴ zu berechnen sieht nicht so spaßig aus :).

MfG

Qwertz

---

Ja, mit der Rotation wäre das sehr einfach gegangen. Aber die Aufgabenstellung war leider, dass man den Stoke'schen Satz auf das gegebene Integral anwenden sollte, wobei dann ein Wegintegral über das Vektorfeld $\vec v$ entsteht.

---

Hey Tschakabumba,
erstmal vielen Dank für diese ausführliche Lösung!

Ich wollte nur bescheid sagen dass das -r⁴ zu einer positiven 16 wird und somit das Endergebnis zu 12π.

Grüße Wolfkinic