was bedeutet mir noch ein beispiel geben?

Question

Aufgabe:

f^-1 ο f = f ο f^-1

was bedeutet das könnt ihr mir noch ein beispiel geben?

Comments

Hallo,es geht wohl darum ,das Kommutativgesetz für diese Form der Rechenoperation darzustellen..

Answer 1

Aloha :)

Wenn du eine Umkehrfunktion auf eine Funktion anwendest, neutralisieren beide ihre Wirkung gegenseitig.$$f^{-1}(\,f(x)\,)=x$$Das bedeutet z.B.$$\arcsin(\,\sin(x)\,)=x\quad;\quad\ln(\,e^x\,)=x\quad;\quad(\sqrt[3]{x})^3=x$$Im Allgemeinen gilt dies aber nur für bestimmte Intervalle von $x$, insbesondere bei Wurzelfunktionen und periodischen Funktionen muss man hier aufpassen. Zum Beispiel liefert:$$\arccos\left(\cos\left(3\pi\right)\right)=\pi$$Man sagt, die Umkehrfunktionen liefern das sog. "Hauptwert"-Argument zurück.

Das funktioniert natürlich auch, wenn du die Reihenfolge von Umkehrfunktion und Funktion umkehrst:$$f(\,f^{-1}(x)\,)=x$$Auf unsere Beispiele von oben bezogen heißt das:$$\sin(\,\arcsin(x)\,)=x\quad;\quad e^{\ln(x)}=x\quad;\quad\sqrt[3]{x^3}=x$$

Die angegebene Gleichung beschreibt streng genommen nur, dass die Vertauschung von Funktion und Umkehrfunktion dasselbe ergibt, man müsste sie eigentlich erweitern:$$f^{-1}(\,f(x)\,)=x=f(\,f^{-1}(x)\,)$$Immer unter der Voraussetzung, dass man mit den "Hauptwerten" von $x$ rechnet.

Answer 2

Hier mal zwei Beispiele:

e^(LN(x)) = LN(e^x) für x > 0

√(x²) = (√x)² für x ≥ 0

Answer 3

In Worten:

Verknüpfung der Umkehrfunktion mit der Funktion ergibt dasselbe wie umgekehrt.