Lineare Abhängigkeit von Vektoren mit einer Unbekannten

Question

Aufgabe:

Hallöchen, ich hänge gerade an folgender Aufgabe:

1. Man soll das α so bestimmen das folgende Vektoren linear abhängig sind:

\( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)  \( \vec{b} \) = \( \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} \)  \( \vec{c} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\2\\α \end{pmatrix} \)

2. Für das in 1. bestimmte α gebe man \( \vec{a} \) \( \vec{b} \) und \( \vec{c} \)  als Linearkombination der beiden anderen Vektoren an,
Problem/Ansatz:

zu 1), also an sich sind die Vektoren ja linear abhängig wenn die Determinante dieser =0 ist. Allerdings bin ich mir nicht sicher, wie genau ich damit nun den Wert für das α herausfinden soll.

Für Hinweise wäre ich echt dankbar

Answer 1

Aloha :)

3 linear abhängige 3-dimensionale Vektoren müssen in einer Ebene oder auf einer Geraden liegen. In beiden Fällen ist das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen \(=0\). Über das Volumen gibt die Determinante Auskunft. Daher muss die Determinante aus linear abhängigen Vektoren \(=0\) sein.$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}1 & -1 & 0\\0 & 1 & 2\\1 & 1 & \alpha\end{vmatrix}=(1\cdot\alpha-1\cdot2)+(-1\cdot2-1\cdot0)=\alpha-4\quad\Rightarrow\quad\alpha=4$$

Answer 2

Für Hinweise wäre ich echt Dankbar

Dann sollst du einen Hinweis bekommen: Rede nicht nur über die Determinante. Setze die Werte der drei Vektoren da ein und rechne sie aus.