Aloha :)
Es geht ja darum, die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren mittels des Gauß-Verfahrens rauszurechnen. Dazu kannst du (1) die Matrix transponieren und dann elementare Zeilenoperationen anweden oder (2) die Matrix so lassen und elementare Spaltenoperationen anwenden. Ich führe mal Methode (2) vor:
$$\begin{array}{rrrr}:\,2 & & & \\\hline 2 & 3 & -1 & 1\\ 2 & 4 & -6 & 3\\ 3 & 5 & -8 & 4\\ -1 & 1 & 8 & -3\\ -2 & -3 & 17 & -7\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} & -3S_1 & +S_1 & -S_1 \\\hline 1 & 3 & -1 & 1\\ 1 & 4 & -6 & 3\\ 1,5 & 5 & -8 & 4\\ -0,5 & 1 & 8 & -3\\ -1 & -3 & 17 & -7\end{array}\quad\to\quad$$$$\begin{array}{rrrr} -S_2 & & +5S_2 & -2S_2 \\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -5 & 2\\ 1,5 & 0,5 & -6,5 & 2,5\\ -0,5 & 2,5 & 7,5 & -2,5\\ -1 & 0 & 16 & -6\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} & & :\,(-4) & \\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0,5 & -4 & 1,5\\ -3 & 2,5 & 20 & -7,5\\ -1 & 0 & 16 & -6\end{array}\quad\to\quad$$$$\begin{array}{rrrr} -S_3 & -0,5S_3 & & -1,5S_3\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0,5 & 1 & 1,5\\ -3 & 2,5 & -5 & -7,5\\ -1 & 0 & -4 & -6\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 & \\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 2 & 5 & -5 & 0\\ 3 & 2 & -4 & 0\end{array}$$Jetzt haben wir soweit wie möglich Diagonalgestalt und es bleiben 3 Basisvektoren \(\vec b_1\), \(\vec b_2\) und \(\vec b_3\) übrig.
