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Aufgabe:

\( \frac{1}{2} z^{2}-\left(\frac{1+3 i}{2}\right) z-1+i=0 \)

Lösen Sie die Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.



Problem/Ansatz:

Hallo. Ich soll diese Aufgabe hier lösen. Kann mir jemand sagen, wie ich hier vorgehe?

von

1 Antwort

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pq Formel. Sagt Dir das was?

von 31 k

Ja. Aber da muss ich ja die ganze Gleichung durch 0,5 Teilen.

Wie sieht das hier aus: $$\frac{1+3i}{2}$$

Und was passiert mit dem i, welches hinten allein steht?

Ja. Aber da muss ich ja die ganze Gleichung durch 0,5 Teilen.

Und? Ist das schlimm? (Ich würde übrigens mit dem gleichen Effekt alles mal 2 rechnen - geht einfacher.

Und was passiert mit dem i, welches hinten allein steht?


Es steht nicht allein, dazu gehört auch noch davor die -1.

Das Verdoppeln der Gleichung liefert

z^2 -(1+3i) z -2+2i = 0.

Zur besseren Einpassung in die p-q-Formel schreiben wir das mal lieber als

z^2 +(-1-3i) z +(-2+2i) = 0.

Erkennst du jetzt, dass p=(-1-3i) und q=(-2+2i) gilt?

Ja erkenne ich. Dann sollte das so aussehen:

$$-\frac{(-1-3i)}{2}±\sqrt{(\frac{-1-3i}{2})^2-(-2+2i})$$

So sollte es mit Sicherheit nicht aussehen. Wenn du irgendeinen Wert (z.B. -p) halbieren sollst, schreibst du einen Bruchstrich darunter und unter diesen Bruchstrich die Zahl 2. Was hat dich geritten, unter den ersten Bruchstrich die Zahl -2+2i zu schreiben?
Unter die Wurzel kommt am Anfang nicht der Wert von -p/2, sondern das Quadrat dieses Wertes.

$$\frac{-1-3i}{4}*\frac{-1-3i}{4}=\frac{1+3i+3i+9i^2}{4}=\frac{1+6i-9}{4}=0,25+1,5i-2,25$$

Das ist der Ausdruck (....)^2

Vorne muss p/2 stehen. Dann ausmultiplizieren und vereinfachen.

Habe es verbessert. Sorry hatte einen denkfehler.

$$0,5-1,5i±\sqrt{0,5+3i-4,5+2-2i}$$


So jetzt vereinfache ich mal

Bei ()^2 muss im Nenner eine 4 stehen.

Stimmt. 2*2. Ich verbessere es.

Wenn du einen Bruch mit dem Nenner 2 quadrierst, hat das Ergebnis den Nenner 4.

Und was gibt (p/2)^2 im Nenner?

$$0,5-1,5i±\sqrt{0,25+1,5i-2,25+2-2i}$$

So jetzt aber.


Das hier: $$0,25+1,5i-2,25$$

Unter der Wurzel stehen jetzt 5 Summanden. Fasse sie zusammen, damit du die Wurzel(n) berechnen kannst.

Du hast übrigens noch einen Übertragungsfehler. Der letzte Summand in der Wurzel ist -2i.

\(0,25+1,5i-2,25\)

Nein. Unter der Wurzel verbleiben noch -0,5i.

$$0,5-1,5i±\sqrt{0-0,75i }=0,5-1,5i±\sqrt{-0,75i }$$

Unter der Wurzel steht doch: $$0,25+1,5i-2,25+2-2i$$

\(0,5-1,5i±\sqrt{0-0,75i }=0,5-1,5i±\sqrt{-0,75i }\)

Wie komme ich denn da auf -0,75i, du hast recht unter der Wurzel steht -0,5i


So: \( 0,5-1,5i±\sqrt{-0,5i }\)

Nun finde die Zahl(en), deren Quadrat -0,5i ist.

\( x^2=-0,5i \ |ln \)
\( ln(x^2)=ln(-0,5i) \)
\( 2ln(x)=ln(-0,5i) \)

Weiter komme ich nicht

Mann kann doch keine Wurzel aus ein einem Wert kleiner Null ziehen...

Also hat diese Aufgabe keine lösung?

Kann mir da jemand helfen?

Die Ausgangsgleichung lautet ja $$ \frac{1}{2} z^2 - \frac{ 1+3i }{ 2 } z - 1 + i = 0  $$ die Gleichung mit \( 2 \) multiplizieren ergibt

$$ z^2 - (1 + 3i) z + 2 (i-1) = 0 $$ jetzt pq-Formel richtig anwenden

$$ z_{1,2} = \frac{1+3i}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{1+3i}{2}  \right)^2 - 2(i - 1) } $$ Den Ausdruck unter der Wurzel ausrechnen ergibt

$$ z_{1,2} = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{ 1 + 6i - 9 -8(i-1) }  = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{ -2i } $$

Den Ausdruck \( \sqrt{-i} \) ausrechnen.

$$ \sqrt{-i} = (-i)^\frac{1}{2} = \left( e^{-i \frac{\pi}{2} } \right) ^\frac{1}{2} = e^{-i\frac{\pi}{4} } = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) - i \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{ \sqrt{2} } {2} (1-i) $$

Das einsetzen ergibt

$$ z_{1,2} = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} \frac{ \sqrt{2} } {2} (1-i) = \frac{1+3i}{2} \pm \frac{1}{2} (1-i) $$

Also $$ z_1 =  \frac{1+3i}{2} + \frac{1}{2} (1-i) =  \frac{1+3i+1-i}{2} = 1+i $$

$$ z_2 = \frac{1+3i}{2} - \frac{1}{2} (1-i) = \frac{ 1+3i-1+i }{2} =  2i $$

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