Dann ist d/dx (f^-1)(0)=?

Question

Aufgabe:

Es sei f(x) = \( \int\limits_{0}^{x} \) cos(cos(t)) dt. Dann ist \( \frac{d}{dx} \)  (\( f^{-1} \) )(0)=?

Problem/Ansatz:

Ich schätze, ich kann das Prinzip \( \frac{d}{dx} \) \( \int\limits_{0}^{x} \) f(t) dt = f(x) anwenden. Habe aber Mühe, wie ich die Umkehrfunktion benutzen muss.

Ich komme nämlich auf arccos(arccos(0)) und da ist dann keine Lösung möglich.

Habe die Auswahl zwischen 4 Lösungen:

pi/2, -1, 1/(cos(1)), pi/cos(1), cos(cos(x))

Comments

Hallo,

zunächst musst Du die Aufgabenstellung korrigieren. Vermutlich soll die obere Grenze x sein.

Dann darfst Du nicht f und den Integranden verwechseln. Also wir haben (vermutlihc)

$$f(x)=\int_0^x h(t) dt \text{ mit } f(0)=0  \text{ und } f'(0)=h(0)$$

Jetzt verwendest Du den Satz über die Differentation der Umkehrfunktion.

Gruß

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Ich habe es korrigiert!

Aber wie komme ich nun weiter? Habe ich nun nicht arccos(arccos(0))? Das geht ja nicht, wo mache ich den Fehler?

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Ich weiß nicht, wo Du den Fehler machst, Du schreibst ja nichts hin.

Es sieht so aus, also ob Du die Umkehrfunktion von f' bearbeitest. Gefragt ist aber nach der Ableitung der Umkehrfunktion von f.

Gruß

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das heisst, ich muss zuerst die Umkehrfunktion von f bestimmen und dann ableiten? also die Umkehrfunktion von f(x)= cos(cos(x)) ist f^-1= arccos(arccos(x)) und dann f^-1 ableiten?

Wenn ich das online ableite und 0 einsetze, kommt kein richtiges Resultat raus.

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Also wenn gilt f(x) =\( \int\limits_{0}^{x} \) cos(cos(x) ist

dann sollte (f^-1)' die die Ableitung von der Umkehrfunktion von \( \int\limits_{0}^{x} \) cos(cos(x).

Leider weiss ich nicht, wie ich die Umkehrfunktion eines Integrals bestimmen kann, damit ich es dann ableiten kann. Wenn ich versuche zuerst normal zu integrieren, um dann die Umkehrfunktion zu bestimmen, geht das auch nicht. (cos(cosx) lässt sich nicht einfach integrieren.

Darum wollte ich mir das Prinzip zunutze machen:

\( \frac{d}{dx} \) \( \int\limits_{0}^{x} \) f(t) dt = f(x)

Daraus folgt, dass wie mathepeter sagt, dass f'(0)=h(0) und (f^-1)'(0) = (h^-1)(0).

die Umkehrfunktion von cos(cos(x)) ist arccos(arccos(x). Wenn ich das nun ableite erhalte ich

1/(sqrt(1-x^2)*sqrt(1-arccos(x)^2))

Wenn ich nun 0 einsetze, erhalte ich für den Nenner 0. Und das darf ja nicht sein. Wo liegt mein Überlegungsfehler?

Answer 1

Hallo,

es ist

$$f(x)=\int_0^x h(t)dt, \qquad h(t)=\cos(\cos(t))$$

Es gilt \(f'(0)=h(0)=\cos(\cos(0)) =\cos(1) \neq 0\). Jetzt garantiert der Satz über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion (oder wie auch immer Ihr den genannt habt), dass f umkehrbar ist - und zwar in einer Umgebung des Nullpunkts. Es existiert also die Umkehrfunktion, die ich mal einfach g nenne. D.h. in einer Umgebung des Nullpunkts gilt:

$$f(g(y))=y \text{ und } g(f(x))=x$$

speziell \(g(0)=0\).

Diese Satz garantiert weiter, dass g dfifferenzierbar ist. Mit der Kettenregel folgt durch Differenzieren:

$$x=g(f(x)) \Rightarrow 1=g'(f(x))f'(x)$$

speziell im Nullpunkt:

$$1=g'(0)f'(0) \Rightarrow g'(0)= \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{\cos(1)}$$

Gruß