Zeige, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist und dass die folgende Abbildung bijektiv ist

Question

Es sei \(M=\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) und \((a, b) \in M\) und \((c, d) \in M\) seien zwei Elemente in \(M\) . Wir definieren

$$ (a, b) \sim(c, d) \quad: \Longleftrightarrow \quad a+d=c+b $$

Zeigen Sie, dass \(\sim\) eine Äquivalenzrelation ist und dass die folgende Abbildung bijektiv ist:

$$ \Phi: \mathbb{Z} \rightarrow M / \sim, z \mapsto\left\{\begin{array}{ll} {[(z, 0)]} & \text { falls } z \geq 0 \\ {[(0,-z)]} & \text { falls } z<0 \end{array}\right. $$

Answer 1

reflexiv. Prüfe, ob für alle (a,b) gilt .

                (a,b) ~ (a,b) also ob gilt

                a+b = a+b .  Passt also.

Symmetrie (a,b) ~ (x,y)  ==>    (x,y)   ~  (a,b)

Das bekommst du doch auch hin und transitiv ) Versuch mal.

Answer 2

Für die Sujektivität musst du mit einer beliebigen Äquivalenzklasse in M/~ starten. Dann musst du die Existenz einer ganzen Zahl zeigen, die genau auf diese Äquivalenzklasse abbildet. Schnapp dir also mal eine beliebige ÄK [(a,b)] und schau was für z gelten muss, wenn (a,b)~(z,0) sein soll? Kann man eventuell nach z auflösen? Injektivität finde ich einfacher, vielleicht startest du einfach mal damit! Viel Erfolg, Michael