Funktion Extrema und Monotonie

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion ƒ:ℝ\{-1}→ℝ, definiert durch

$$ƒ(x)=\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}-1$$

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion und stellen Sie fest, auf welche Bereiche sie monoton wachsend bzw. monoton fallend ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe folgendes raus bekommen:

ƒ´(x)=0 ist x=1;

ƒ´´(1)= 0,5 > 0 ⇒Minimum;

(-∞; 0,5) =monoton fallend

(+∞; 0,5) =monoton steigend

Bin ich auf dem richtigen Weg?

Danke für eure Hilfe

Answer 1

f(x) = (1 - x)^2/(1 + x)^2 - 1

f'(x) = 4·(x - 1)/(x + 1)^3

f''(x) = 8·(2 - x)/(x + 1)^4

Extrema f'(x) = 0 → x = 1

f''(1) > 0 → TP

f(1) = -1 → TP(1 | -1)

Im Intervall (-∞ ; -1) streng monoton steigend

Im Intervall (-1 ; 1] streng monoton fallend

Im Intervall [1 ; ∞) streng monoton steigend

~plot~ (1-x)^2/(1+x)^2-1 ~plot~

Comments

wie kommst du denn auf den Tiefpunkt (1|-1)?

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jetzt hab ich es hab in dei falsche Funktion ein gesetzt :)