Aloha :)
Wir betrachten die Differenz von rechter und linker Seite und zeigen, dass diese ≥0 ist:
=1+∣x∣∣x∣+1+∣y∣∣y∣−1+∣x+y∣∣x+y∣=(1+∣x∣)(1+∣y∣)∣x∣(1+∣y∣)+∣y∣(1+∣x∣)−1+∣x+y∣∣x+y∣=1+∣x∣+∣y∣+∣xy∣∣x∣+2∣xy∣+∣y∣−1+∣x+y∣∣x+y∣=(1+∣x∣+∣y∣+∣xy∣)(1+∣x+y∣)(∣x∣+2∣xy∣+∣y∣)(1+∣x+y∣)−∣x+y∣(1+∣x∣+∣y∣+∣xy∣)=(1+∣x∣+∣y∣+∣xy∣)(1+∣x+y∣)(∣x∣+2∣xy∣+∣y∣)+(∣x∣+2∣xy∣+∣y∣)∣x+y∣−∣x+y∣(1+∣x∣+∣y∣+∣xy∣)=(1+∣x∣+∣y∣+∣xy∣)(1+∣x+y∣)(∣x∣+2∣xy∣+∣y∣)+∣xy∣∣x+y∣−∣x+y∣=(1+∣x∣+∣y∣+∣xy∣)(1+∣x+y∣)(∣x∣+∣y∣−∣x+y∣)≥0+2∣xy∣+∣xy∣∣x+y∣wegen∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣≥(1+∣x∣+∣y∣+∣xy∣)(1+∣x+y∣)2∣xy∣+∣xy∣∣x+y∣≥0✓Damit ist die Behauptung gezeigt.
Die zweite Ungleichung für x,y>0 erhalten wir wie folgt:⇔(x−y)2(x+y)≥0∣∣∣ausrechnen⇔(x2−2xy+y2)(x+y)≥0∣∣∣weiter ausrechnen⇔x3−2x2y+xy2+x2y−2xy2+y3≥0∣∣∣Terme zusammenfassen⇔x3−x2y−xy2+y3≥0∣∣∣+x2y+xy2⇔x3+y3≥x2y+xy2∣∣∣ : (xy)⇔yx2+xy2≥x+y✓