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Aufgabe:


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Beweisen Sie, dass die Ungleichung
x+y1+x+yx1+x+y1+y\frac{|x +y|}{1 +|x+y|} \leq \frac{|x|}{1 +|x|} +\frac{|y|}{1+|y|} für alle reellen Zahlen x,y richtig ist, und, dass die Ungleichung
x2y+y2xx+y\frac{x^{2}}{y} +\frac{y^{2}}{x} \geq x + y
für alle positiven reellen Zahlen x,y richtig ist


Problem

Hallo kann mir jemand helfen diese beiden ungleichungen zu beweisen komme mit diesen beiden einfach auf keinen grünen zweig.

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Aloha :)

Wir betrachten die Differenz von rechter und linker Seite und zeigen, dass diese 0\ge0 ist:

=x1+x+y1+yx+y1+x+y\phantom{=}\frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}-\frac{|x+y|}{1+|x+y|}=x(1+y)+y(1+x)(1+x)(1+y)x+y1+x+y=\frac{|x|(1+|y|)+|y|(1+|x|)}{(1+|x|)(1+|y|)}-\frac{|x+y|}{1+|x+y|}=x+2xy+y1+x+y+xyx+y1+x+y=\frac{|x|+2|xy|+|y|}{1+|x|+|y|+|xy|}-\frac{|x+y|}{1+|x+y|}=(x+2xy+y)(1+x+y)x+y(1+x+y+xy)(1+x+y+xy)(1+x+y)=\frac{(\,|x|+2|xy|+|y|\,)(\,1+|x+y|\,)-|x+y|\,(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)}{(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)(\,1+|x+y|\,)}=(x+2xy+y)+(x+2xy+y)x+yx+y(1+x+y+xy)(1+x+y+xy)(1+x+y)=\frac{(\,|x|+2|xy|+|y|\,)+(\,\cancel{|x|}+\cancel{2}|xy|+\cancel{|y|}\,)|x+y|-|x+y|\,(\,1+\cancel{|x|}+\cancel{|y|}+\cancel{|xy|}\,)}{(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)(\,1+|x+y|\,)}=(x+2xy+y)+xyx+yx+y(1+x+y+xy)(1+x+y)=\frac{(\,|x|+2|xy|+|y|\,)+|xy||x+y|-|x+y|}{(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)(\,1+|x+y|\,)}=(x+yx+y)0+2xy+xyx+y(1+x+y+xy)(1+x+y)wegen  x+yx+y=\frac{\overbrace{(\,|x|+|y|-|x+y|\,)}^{\ge0}+2|xy|+|xy||x+y|}{(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)(\,1+|x+y|\,)}\quad\text{wegen}\;|x+y|\le|x|+|y|2xy+xyx+y(1+x+y+xy)(1+x+y)0\ge\frac{2|xy|+|xy||x+y|}{(\,1+|x|+|y|+|xy|\,)(\,1+|x+y|\,)}\ge0\quad\checkmarkDamit ist die Behauptung gezeigt.

Die zweite Ungleichung für x,y>0x,y>0 erhalten wir wie folgt:    (xy)2(x+y)0ausrechnen\left.\phantom{\Leftrightarrow}\;\;(x-y)^2(x+y)\ge0\quad\right|\quad\text{ausrechnen}    (x22xy+y2)(x+y)0weiter ausrechnen\left.\Leftrightarrow\;\;(x^2-2xy+y^2)(x+y)\ge0\quad\right|\quad\text{weiter ausrechnen}    x32x2y+xy2+x2y2xy2+y30Terme zusammenfassen\left.\Leftrightarrow\;\;x^3-2x^2y+xy^2+x^2y-2xy^2+y^3\ge0\quad\right|\quad\text{Terme zusammenfassen}    x3x2yxy2+y30+x2y+xy2\left.\Leftrightarrow\;\;x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0\quad\right|\quad+x^2y+xy^2    x3+y3x2y+xy2 : (xy)\left.\Leftrightarrow\;\;x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\quad\right|\quad:(xy)    x2y+y2xx+y\Leftrightarrow\;\;\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y\quad\checkmark

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