Kongruenzsatz für eulersche Dreiecke

Question

Ich soll für Geometrie den Kongruenzsatz "SWS" für eulersche Dreiecke beweisen, mir fehlt allerdings der Ansatz, weshalb ich mich über jeden Tipp freuen würde :)

Comments

Was genau soll hier mit dem Ausdruck "eulersche Dreiecke" gemeint sein?

Und welche Grundlagen (Axiome) sollen für einen Beweis zugelassen sein?

Ich habe rasch betr. "eulersches Dreieck" nachgeschaut: das soll wohl ein sphärisches Dreieck sein. Aber meine zweite Frage bleibt bestehen.

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Eulersche Dreiecke sind so definiert:

Ein Eulersches Dreieck auf der Sphäre ist gegeben durch drei Punkte A, B und C, die nicht alle auf demselben Großkreis liegen. Diese Fläche, die durch die sphärischen Strecken zwischen den drei Punkten begrenzt wird und für welche die Innenwinkel kleiner als pi sind, heißt dann eulersches Dreieck.

Zum Beweis darf benutzt werden, dass sphärische Dreiecke, die in allen Seiten oder allen Winkeln übereinstimmen, kongruent sind.

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Was genau soll hier mit dem Ausdruck "eulersche Dreiecke" gemeint sein?

siehe http://152.96.52.69/webMathematica/canum/bronstein2008/kap_3/node136.html .

Answer 1

Ich beziehe mich auf deine zusätzliche Angabe: "Zum Beweis darf benutzt werden, dass sphärische Dreiecke, die in allen Seiten oder allen Winkeln übereinstimmen, kongruent sind."

In diesem Fall würde es ja wohl genügen, zu zeigen, dass aus den gegebenen drei Stücken "SWS" (also beispielsweise Seite a, Winkel γ und Seite b) die dritte "Seite" (also c) auf eindeutige Weise zu bestimmen ist. Die Formel der sphärischen Trigonometrie für diesen Fall wäre:

cos c = cos a · cos b + sin a · sin b · cos γ  (Seiten-Cosinussatz)

Im Wesentlichen geht es also nur noch darum, klar zu stellen, dass sich nach dieser Berechnung aus dem Cosinuswert cos c auch der Winkel (die "Seite") c auf eindeutige Weise ergibt. Wie ich aber verstanden habe, sollen ja im "eulerschen" Kugeldreieck nebst den "Winkeln" auch alle "Seiten" kleiner als 180° (bzw. π) sein. Damit ist der Übergang vom Wert von cos c zum Wert von c eindeutig.