Berechnen Sie in jedem Fall ƒ ([-1,1]). Welche der folgenden Funktionen ƒ : ℝ -> ℝ sind injektiv?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Funktionen ƒ : ℝ -> ℝ sind injektiv? Welche sind surjektiv? Welche sind bijektiv? Berechnen Sie in jedem Fall ƒ ([-1,1]).

f1(x) : = $\begin{pmatrix} x - 1, x ≥ 0\\x + 1, x < 0.\\ \end{pmatrix}$

f2(x) : = $\begin{pmatrix} -x - 1, x ≥ 0\\-x + 1, x < 0.\\ \end{pmatrix}$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Welche der folgenden Funktionen ƒ : ℝ -> ℝ sind injektiv?

Stichworte: potenzen

Aufgabe:

Aufgabe:


Welche der folgenden Funktionen ƒ : ℝ -> ℝ sind injektiv? Welche sind surjektiv? Welche sind bijektiv? Berechnen Sie in jedem Fall ƒ ([-1,1]).





f2(x) : = $\begin{pmatrix} -x - 1, x ≥ 0\\-x + 1, x < 0.\\ \end{pmatrix}$

Answer 1

Aloha :)

1) Surjektivität von $f_1$.

Sei $y\in\mathbb R$ aus der Zielmenge beliebig gewählt:

a) Für $y\ge0$ bildet $f$ mit der Wahl $x=y+1\ge0$ auf $y$ ab: $f(x=y+1)=y$

b) Für $y<0$ bildet $f$ mit der Wahl $x=y-1<0$ auf $y$ ab: $f(x=y-1)=y$

Für jedes Element $y$ aus der Zielmenge gibt es also ein $x$ aus der Definitionsmenge, das auf $y$ abbildet. Die Funktion ist daher surjektiv.

2) Injektivität von $f_1$

Wegen $f(0)=-1$ und $f(-2)=-1$ gibt es ein Element der Zielmenge, das mehr als 1-mal erreicht wird. Die Funktion ist daher nicht injektiv.

3) Surjektivität von $f_2$.

Für $x\ge0$ ist $f(x)=-x-1=-(x+1)<=-1$.

Für $x<0$ ist $f(x)=-x+1=-(x-1)>1$.

Der Wert $0$ aus der Zielmenge wird daher zum Beispiel nicht erreicht. Die Abbildung ist nicht surjektiv.

4) Injektivität von $f_2$.

Seien $a$ und $b$ zwei Argumente mit demselbem Bild, dann gilt:

$$f(a)=f(b)\Rightarrow\left\{\begin{array}{lll}-(a+1)=-(b+1) &\text{falls} & f(a)\le-1\\-(a-1)=-(b-1) &\text{falls}& f(a)>1\end{array}\right\}$$$$\phantom{f(a)=f(b)}\Rightarrow\left\{\begin{array}{lll}a=b &\text{falls} & f(a)\le-1\\a=b &\text{falls}& f(a)>1\end{array}\right\}$$In beiden Fällen gibt es keine 2 Argumente, die auf dasselbe Bild abbilden. Die Funktion ist daher injektiv.

Comments

Danke für die Antwort, aber was ist mit der Bijektivität?

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Surjektiv bedeutet, jedes Element der Zielmenge wird mindestens 1-mal erreicht.

Injektiv bedeutet, jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht.

Bijektiv bedeutet, jedes Element der Zielmenge wird genau 1-mal erreicht.

Das heißt, eine Funktion ist genau dann bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

$f_1$ ist nicht injektiv und daher auch nicht bijektiv.

$f_2$ ist nicht surjektiv und daher auch nicht bijektiv.

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Hallo,

wie sollen wir zeigen, dass diese Funktion bijektiv ist?

f(x) = x², x ≥ 0

       x, x< 0.