Orthogonale Matrix Q bestimmen so dass Q^T A Q = D eine Diagonalmatrix ist

Question

Hallo !

Ich bräuchte bitte Hilfe bei der folgenden Aufgabe ich versteh das nicht ganz :-( !

Ich habe die folgende Matrix A gegeben:

2  0  0

0  3  -1

0  -1  3

ich habe die Eigenwerte u Eigenvektoren berechnet und

für die Eigenwerte   { 2 ;  2 ;  4 }

und für die Eigenvektoren:  [ 1 ; 0 ; 0 ]   [ 0 ; 1 ; 1 ]   [ 0 ; -1 ; 1 ] rausbekommen.

jetzt lautet die Aufgabe:  eine orthogonale Matrix Q zu bestimmen sodass Q^t A Q eine
Diagonalmatrix ist.

kann mir da bitte jemand weiterhelfen wie geht man das an ?

vielen dank !

lg martina

Comments

Hallo ich hab da eine Frage wie kommt man von Det(-λ^3+8λ^2−21λ+18) auf die oben berechneten eigenvektoren ? kann mir das bitte jemand erklären ? mfG

Answer 1

die Aufgabe scheint schon fast gelöst. Deine Eigenvektoren sind bereits zueinander orthogonal. Diese musst du nur noch normieren. Wähle für  Q  diejenige Matrix, deren Spalten aus den normierten Eigenvektoren besteht. Die Diagonalmatrix  D  habe die entsprechenden Eigenwerte auf der Diagonalen. Dann sollte gelten  Q^t·Q = E₃  und  A·Q = Q·D, d.h.  Q  ist orthogonal und  Q^t·A·Q = D  eine Diagonalmatrix.