Wie bilde ich eine Orthogonale Matrix aus einem Eigenvektor?

Question

Aufgabe:

-3	0	-3
6	-12	0
0	-6	-3

Obige Matrix ist gegeben.

Zunächst soll man die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen.

Anschließend eine Matrix S erstellen welche die Eigenvektoren enthalten.

Die Matrix soll orthogonal (normiert und paarweise orthogonal) sein und die Gestalt R^3x3 besitzen.

Mithilfe dieser Matrix soll eine Ähnlichkeitstransformation von A ausgeführt werden.

Problem/Ansatz:

Die bzw. in dem Fall den Eigenwert habe ich berechnet: λ=-9 ist ein "doppelter Eigenwert".

Der Eigenvektor normiert ist v= 1/3 \begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix}

Einen Vektor habe ich nun für die Matrix S, aber wie finde ich die anderen?

Kann man Vielfache des Eigenvektors nutzen?

Kann man mir außerdem erklären was genau eine Ähnlichkeitstransformation ist?

Comments

Überprüfe Deine Angaben.

zum EW -9 gibt es nur einen EV und der ist {1, 2, 2} und damit nicht mit Deiner Angabe kompatibel. Das würde eine Hauptvektorsuche nach sich ziehen und auf eine Jordannormalform führen?

Wenn Du zu -9 den EV findest, was ist dann das Problem zum EW 0 den EV  zu berechnen?

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Richtig! Beim Eigenvektor hatte ich einen kleinen Denkfehler.

Was die 0 als EW betrifft. wurde bei uns in den Videos immer gesagt, dass er keine Informationen beinhaltet, aber um die Matrix zu bilden ist es dann in Ordnung?

Und kann ich aus den 2 dann den dritten berechnen?

Ich muss dann ja nur noch einen Vektor dranhängen der orthogonal, heißt im Skalarprodukt mit jeweils den anderen Vektoren 0 ergibt und mit sich selbst quadriert 1 ergibt.

Ich habe mich noch nicht an die Rechnung gewagt, aber wollte nur schonmal die Frage stellen

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Für den EW 0 kam der Eigenvektor \( \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} \) heraus,

sollte ich mich nicht verrechnet haben.

Wenn man diese in eine Matrix normiert schreibt sieht diese folgendermaßen aus:

1/3	-2/3	/
2/3	-1/3	/
2/3	2/3	/

Die mit / gekennzeichneten Einträge fehlen

Hier muss nun ein normierter Vektor stehen der zu den anderen Vektoren paarweise orthogonal steht.

WIe finde ich diese?

Edit: In der Aufgabe wurde schon genannt, dass einer fehlen wird und man ihn berechnen muss.

Answer 1

Ok,

wir haben für λ=0den EV \(e1 \, := \frac{1}{3} \, \left( \begin{array}{r}2\\1\\ -2\\ \end{array} \right) \) und

für λ=-9 den EV \(e2 \, := \frac{1}{3} \, \left( \begin{array}{r}1\\2\\ 2\\ \end{array} \right) \)

bereits normiert und orthogonal - Du hast noch den Faktor -1 drin .

jetzt berechnest Du das Kreuzprodukt der beiden, das den zu beiden senkrechten "EV" liefert..

\(e_1 \otimes e_2 = \left( \begin{array}{r}\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \end{array} \right) \)

damit hast Du

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\end{array}\right)\)

und T^-1 A T = T^T A T =

\(\small \left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&-9&9\\0&0&-9\\\end{array}\right)\)

war das Deine Frage?

Comments

Ja super! Das mit dem Kreuzprodukt war schon zu lange her...

Vielen Dank! :)

Und das mit der Ähnlichkeitstransformation verstehe ich auch jetzt.

Da habe ich nur ein paar Formeln zu viel gesehen und wollte nur sicher gehen, dass es die richtige ist.