Hallo Mathe Community, ich stehe vor folgender , Aufgabe und weiß leider nicht wie ich diese angehen und lösen sollte. Vielleicht könnt ihr mir da unter die Arme greifen ? Es geht um das Direkte Produkt von Gruppen.
Vielen Dank für eure Unterstützung :=)
Seien (G1, ∗1) und (G2, ∗2) zwei Gruppen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Das sogenannte direkte Produkt (G1 × G2, ∗) ist wieder eine Gruppe, wobei die Verknüpfung zweier
Elemente (g1, g2),(h1, h2) ∈ G1 × G2 durch(g1, g2) ∗ (h1, h2) := (g1 ∗1 h1, g2 ∗2 h2) definiert ist.
(b) Durch ϕ1((g1, g2)) := g1 ist ein Gruppenhomomorphismus ϕ1: G1 × G2 → G1 gegeben.
Bemerkung: Ebenso ist durch ϕ2 ((g1, g2)) := g2 ein Gruppenhomomorphismus ϕ2: G1 × G2 → G2 gegeben, was Sie
hier aber nicht nachprüfen müssen.
(c) Sind eine weitere Gruppe (H, ) und zwei Gruppenhomomorphismen ψ1: H → G1 und ψ2 : H → G2
gegeben, so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus χ : H → G1 × G2 mit ϕ1 ◦ χ = ψ1 und ϕ2 ◦ χ = ψ2
.
Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass es höchstens einen Gruppenhomomorphismus χ mit den geforderten Eigenschaften
geben kann. Schreiben Sie χ(h) ∈ G1 × G2 dazu als χ(h) = (χ1(h),χ2 (h)).
