Gruppenhomomorphismen auf zwei Gruppen

Question

Ich freue mich über Hinweise zu folgender Frage:

Aufgabe:

Ich habe drei Gruppen:
(G ₁ ,∗ ₁ ), (G ₂ ,∗ ₂ ) und (H,◊)
Und zwei Gruppenhomomorphismen ψ ₁ : H → G ₁ und ψ ₂ : H → G ₂

zu zeigen ist: Es gibt genau einen Gruppenhomomorphismus
χ : H → G ₁ × G ₂ mit ϕ ₁ ◦χ = ψ ₁ und ϕ ₂ ◦χ = ψ ₂ .

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass es höchstens einen solchen Gruppenhomomoprphismus gibt und, dann am besten eine passende Funktion angebe. Aber obwohl ich die Definition von Gruppenhomomorphismus kenne, habe ich keine Idee, was ich genau zeigen soll.

Comments

Was sind ϕ₁ und ϕ₂?

---

ϕ1(g₁,g₂) := g₁

ϕ₂(g_1,g₂) := g₂

Answer 1

Versuch's mal mit \(\chi\left(h\right) \coloneqq\left(\psi_{1}\left(h\right),\psi_{2}\left(h\right)\right)\).

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Bedeutet das dann, dass ich wie folgt rechnen kann?

Wobei die Verknüpfungen in den einzelnen Gruppen folgendermaßen notiert werden:
H: ◊ , G₁:*₁, G₂:*₂, G₁ x G ₂: *

χ (h◊k)	= (χ1(h◊k), χ2(h◊k))
	= (ψ1 (g1*1 j1), ψ2 (g2*2 j2)
	↑Definition von χ
	=(ψ1 (g1) *1 ψ1 (j1), ψ2 (g2) *2 ψ2 (j2))
	↑ da ψ1 und ψ2 Gruppenhomomorphismen sind
	=(ψ1 (g1), ψ2 (g2) ) ◊ ( ψ1 (j1), ψ2 (j2))
	= (χ1 (h), χ2 (h)) ◊ (χ1 (k), χ2 (k))
	= (χ (h) ◊ χ (k)

---

Ich meinte natürlich

        \(\begin{aligned} \chi\left(h\right) & =\left(\psi_{1}\left(h\right),\psi_{2}\left(h\right)\right) \end{aligned}\)

Damit ist

        \(\begin{aligned} \chi\left(h_{1}\diamond h_{2}\right) & =\left(\psi_{1}\left(h_{1}\diamond h_{2}\right),\psi_{2}\left(h_{1}\diamond h_{2}\right)\right)\\ & =\left(\psi_{1}\left(h_{1}\right)*_{1}\psi_{1}\left(h_{2}\right),\psi_{2}\left(h_{1}\right)*_{2}\psi_{2}\left(h_{2}\right)\right)\\ & =\left(\psi_{1}\left(h_{1}\right),\psi_{2}\left(h_{1}\right)\right)*\left(\psi_{1}\left(h_{2}\right),\psi_{2}\left(h_{2}\right)\right)\\ & =\chi\left(h_{1}\right)*\chi\left(h_{2}\right) \end{aligned}\)

---

Vielen Dank!!!

---

Mir fällt noch ein wenig schwer nachzuvollziehen wieso

 \(\begin{aligned} \chi\left(h_{1}\diamond h_{2}\right) &= \chi\left(h_{1}\right)*\chi\left(h_{2}\right) \end{aligned}\)

die zu beweisende Bedingung erüllt.

In wie fern beweist dies, dass es maximal einen Gruppenhomomorphismus \(\chi\) gibt der die Bedingungen erfüllt?

---

Das ist schon eine Weile her. Soweit ich mich erinnere, ist damit gezeigt, dass die Funktion ein Gruppenhomomorphismus gibt und man muss zeigen dass es keinen zweiten gibt.

---

Aber alleinig die Präsenz von einer Funktion schließt doch aber nicht aus, dass es keine zweite gibt. Und außerdem wurde \( \Phi \) nicht ein mal verwendet?

---

Das ist richtig. Deshalb hat Mathe0815 ja geschrieben "und man muss zeigen dass es keinen zweiten gibt".