Gesamtinhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und der x-Achse über dem angegebenen Intervall

Question

Aufgabe:

Der Gesamtinhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und der x-Achse über dem angegebenen Intervall.

f(x)= 1/6x³-1/2x²  Intervall (-1,2)

f(x)= x³-4x Intervall (-3,2)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie man das berechnen soll, kann jemand bitte diese beiden Funktionen vorrechnen und es auch erklären.

Answer 1

Um den Flächeninhalt des Graphen zu ermitteln musst du das Integral für das Interval berechnen.

Zuerst bildest du die Stammfunktion deiner Funktion

$$F(X)= \int\limits_{-1}^{2}(1/6)x^3-(1/2)x^2dx $$

$$= \frac{1}{6·4}x^4-\frac{1}{2·3}x^3 | für x=-1 und 2$$

Jetzt setzt du die Werte von deinem Intervall in die Stammfunktion ein und berechnest: F(2)-F(-1) (Immer Obere Grenze minus untere Grenze)

$$  = \frac{2^4}{24}-\frac{2^3}{6}-(\frac{(-1)^4}{24}-\frac{(-1)^3}{6}) = -\frac{7}{8} $$

Die zweite Aufgabe geht analog.

Comments

Muss man die Nullstellen nicht einbeziehen in den Integralen?

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Muss man die Nullstellen nicht einbeziehen in den Integralen?

Da hast du vollkommen recht.

Bei der ersten Aufgabe hat man aber Glück, dass bei x=0 eine doppelte Nullstelle vorliegt. Dadurch liegen beide Flächen unter der x-Achse.

Bei der zweiten müssen die Nullstellen beachtet werden.