Polynom und Quadraturformel

Question

Aufgabe:

Gegeben sei n∈N, paarweise verschiedenen Knoten x0, . . . , xn∈R und die zugehörige interpolatorische Quadraturformel Qn. Zeigen Sie, dass das Polynom
p(x) := \( \prod_{i=0}^{n}{(x - x_i)^2} \)
von dieser Quadraturformel Qn nicht exakt integriert wird.

Sitze schon die ganze Zeit an dieser Aufgabe, mag wer helfen? :(

Answer 1

Hallo,

das angegebene Polynom hat die Eigenschaft \(P(x_i)=0\) für \(i=0,1. \ldots n\). Eine interpolatorische Quadraturformel nähert das Integral einer Funktion f durch ein gewichtetes Mittel aus den Funktionswerten \(f(x_i)\) an. Für das angegebene Polynome sind diese Werte alle 0, die Qudarturformel liefert also die Näherung 0. Aber P ist außer in diesen Punkten positiv, so dass also ein Integral auf jeden Fall einen positiven Wert liefert.

Gruß