Konvergenz einer Reihe beweisen an monoton fallende Nullfolge

Question

Aufgabe:a)

Sei (an) eine monoton fallende Nullfolge positiver, reeller Zahlen und sei \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{2^{n}a2n} \)  konvergent. Beweisen Sie: Dann ist auch \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{an} \)  konvergent

Problem/Ansatz:

Eine der Reihen kann man, nachdem man umformt, als eine Majorante der anderen erkennen.

c)

Zeigen Sie dass jede Reihe der Gestalt \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{q}}} \) mit einer rationalen Zahl q > 1 konvergiert

Answer 1

a) Das ist das Verdichtungskriterium von Cauchy.

Schreibe:$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n=a_0+\sum \limits_{n=2^0}^{2^1-1}a_n+\sum \limits_{n=2^1}^{2^2-1}a_n+\sum \limits_{n=2^2}^{2^3-1}+\cdots$$ Die Teilsummen rechts lassen sich gut abschätzen. Diese besitzen nämlich jeweils \(2^n\) Summanden, die alle kleiner oder gleich dem ersten und größer gleich dem letzten sind (\(a_k\) fällt monoton). Es gilt:$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n\leq \sum \limits_{n=0}^{\infty}2^na_{2^n}, \quad \quad \sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n \geq \sum \limits_{n=0}^{\infty}2^na_{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_{2^n}$$

Die Reihe \(\sum _n a_n\) ist beschränkt, wenn \(\sum_n 2^na_{2^n}\) beschränkt ist. Daraus folgt das Verdichungskriterium.

Ausführlich wird das Verdichungskriterium hier besprochen.

b) Verdichtungskriterium anwenden und geometrische Reihe erkennen.