Question

Aufgabe: Für welche k hat die Gleichung x^2+2x+k^2=0 ganzzahlige Lösungen?

Problem/Ansatz: Könnte mir jemand erklären wie man das weiß und ob es dafür auch eventuell eine bestimmte Regel gibt, ob man weiß, dass die Gleichung eine /keine/zwei Lösungen hat?

Answer 1

pq-Formel

x = -1 ±√( 1-k^2)

Für |k|>1 ist es in der Wurzel negativ ==>  keine Lösung

Für |k|=1 ist in der Wurzel 0, also genau eine Lösung x= -1

Für |k| <1 gibt es zwei reelle Lösungen, ganzzahlig aber nur

für k=0 , dann sind es 0 und -2 .

Also ganzzahlig für k ∈{-1,0,1}

Comments

Kann man das sich als Regel merken oder gilt das nur für dieses Beispiel?

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Die Regel ist:

Das was in der Wurzel steht (nennt man Diskriminante)

entscheidet ob es ein, zwei oder keine reelle

Lösung gibt.

Answer 2

x^2+2x+k^2=0

"pq-Formel"

x=-1±√(1-k^2)

Es gibt drei Werte für k, damit x ganzzahlig ist.

:-)

Comments

Sorry, hab es nicht so genau verstanden:/

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Welchen Schritt verstehst du nicht?

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Warum benutzt man die pq Formel?

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Die gegebene Gleichung ist doch von der Form x^2+px+q=0.

Mit p=2 und q=k^2.

Answer 3

Man kann die Gleichung auf diese Form bringen:

(x+1)² + k² = 1

Da x ganzzahlig sein soll und Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sein können, kommt für (x+1)²  nur entweder 0 oder 1  in Frage. Daraus ergeben sich für x nur die drei möglichen Werte  -2, -1 oder 0 . Für k kommt man auf die 3 möglichen Zahlenwerte -1 , 0 oder +1 .

Falls aber für k etwa auch imaginäre Zahlenwerte zugelassen sein sollten, gäbe es allenfalls (unendlich) viele mögliche Lösungen für k .

Eigentlich fehlt wohl in der Aufgabenstellung die Voraussetzung, dass k reell sein soll.