Sei v ein Vektorraum und seien und Untervektorräume von . Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

Question

Sei \( V \) ein Vektorraum und seien \( U_{1} \) und \( U_{2} \) Untervektorräume von \( V \). Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) \( U_{1} \cap U_{2} \) ist ein Untervektorraum von \( V \).
(b) \( U_{1}+U_{2}:=\left\{u_{1}+u_{2} \mid u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2}\right\} \) ist ein Untervektorraum von \( V \).
(c) \( U_{1} \cup U_{2} \) ist genau dann ein Untervektorraum von \( V, \) wenn \( U_{1} \subseteq U_{2} \) oder \( U_{2} \subseteq U_{1} \) gilt.

Answer 1

Satz. Sei V ein K-Vektorraum und U ⊆ V.

U ist mit den auf U eingeschränkten Operationen von V ein K-Vektorraum genau dann, wenn U ≠ ∅ ist und für alle α∈K, u₁, u₂ ∈ U gilt

        α·u₁ + u₂ ∈ U.

Es gibt zwei Defnitionen von Untervektorraum. Die erste ist, was in obigem Satz links von genau dann steht, die zweite ist was in obigem Satz rechts von genau dann steht.

(a) Sei α∈K und u₁, u₂ ∈ U₁ ∩ U₂. Begründe, warum auch

        α·u₁ + u₂ ∈ U₁ ∩ U₂

ist. Falls du obigen Satz kennst oder die zweite Definition verwendest, dann musst du noch begründen, warum U₁ ∩ U₂ ≠ ∅ ist. Ansonsten muss du noch zeigen, dass U₁ ∩ U₂ die Vektorraumaxiome erfüllt.

(b) und (c) werden analog dazu gelöst.