Question

Seien V ein endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt < ., . > und U, W ⊆ V Untervektorräume. Zeigen Sie:

(a) U^⊥⊥ = U,
(b) (U + W)^⊥ = U^⊥ ∩ W^⊥,
(c) (U ∩ W)^⊥ = U^⊥ + W^⊥.

Answer 1

Hallo

zu \(a.)\)

Nach Definition des orthogonales Kompliments ist \(U^{\perp}=\{v \in V| \langle v, u\rangle = 0 \ \forall u \in U\}\). Also ist weiter \(U^{\perp \perp}=\{v \in V| \langle v, u\rangle = 0 \ \forall u \in U\}^{\perp}=\{v \in V| \underbrace{\langle v,u\rangle = 0 \ \forall u \in U^{\perp}}_{(*)} \}\)

Da die Bedingung \((*)\) für alle \(v \in V\) zutrifft, wegen der Definition von \(U^{\perp}\), gilt demnach die behauptete Gleichheit.

zu \(b.)\) und \(c.)\) verwende für die Beweise die Inklusionen "\(\subseteq\)" und "\(\supseteq\)". Das sollte dir nun nicht mehr schwer fallen. \(\square\)

Gruß