Bestimme die Ursprungsgerade, die den durch die 1. Achse bestimmten Parabelabschnitt in zwei Teilflächen teilt.

Question

Aufgabe:

Bestimme diejenige Ursprungsgerade, die den durch die 1. Achse und durch y=-x^2+6x bestimmten Parabelabschnitt in zwei Teilflächen mit gleichem Flächeninhalt teilt.

Answer 1

Bestimme zuerst den gesamten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x)=-x^2+6x und der x-Achse im I. Quadranten.

Dividiere den Wert durch 2, nenne ihn A/2.

Die Fläche zwischen den Graphen der gegebenen und der gesuchten Funktion g(x)=m*x beträgt also A/2.

Dazu bilden wir die Differenzfunktion

h(x)=-x^2+6x-m*x

Das Integral der Funktion h(x) von Null bis zur zweiten Nullstelle von h muss A/2 betragen.

Das ergibt eine Gleichung mit der Unbekannten m.

Ausrechnen, fertig.

:-)

Answer 2

f ( x ) = -x^2 + 6*x ;
g ( x ) = a * x

Nullstellen f
x = 0
x = 6

Fläche der Parabel

A = 36
Halbiert durch g
A = 18

Schnittpunkt
f =  g
xs = a - 6

Differenzfunktion
d = f - g
d = 6*x - x^2 - a*x

Stammfunktion
- 1/3*x^3 + (3 - 1/2*a)*x^2

Integral zwischen 0 .. (a-6)
- ( a- 6 ) ^3 / 6

A = 18
- ( a- 6 ) ^3 / 6 = 18

a = 1.238

Bitte nachrechnen.