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Aufgabe:

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und f ein Endomorphismus von V mit
fn = 0 und f^(n−1) ≠ 0. Zeigen Sie, dass ein v ∈ V existiert, sodass die Vektoren

v, f(v),f2(v),...,f^(n-1)(v)

Linear unabhängig sind.


Problem/Ansatz:

Ich weiß das z.B Vektoren linear unabhängig sind, wenn ich bei einem linearen Gleichungssystem die triviale Lösung rausbekomme aber bringt mir das hier was? Die triviale Lösung ist ja wenn 0 rauskommt und fn ist ja null.

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Danke, dass habe ich gar nicht gefunden.

Weist du wie ich dort auf a_n=0 komme? Wenn ich den Rechenweg benutze komme ich auf:

a_n*F^(n+1)=0 und da kann ich nicht folgern, dass a_n null ist, weil F^(n+1) selbst laut Aufgabenstellung 0 ist.

Das kann nicht sein, zum Schluss musst Du auf anF(n)(v)=0 a_n F^{(n)}(v) = 0 kommen. Und weil F(n)(v)0 F^{(n)}(v) \ne 0 ist folgt an=0 a_n = 0

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