Zeigen sie, dass die Folge ((1+1/n)n) monoton wachsend ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass die Folge ((1+1/n)ⁿ) monoton wachsend ist.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten das Monotonieverhalten der Folge:$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Zu diesem Zweck überlegen wir uns zunächst, dass für zwei positive Zahlen $a,b>0$ gilt:$$a\le b\implies ab+a\le ab+b\implies a(b+1)\le b(a+1)\implies\frac{a}{b}\le\frac{a+1}{b+1}\quad(\ast)$$Nun verwenden wir den binomischen Lehrsatz und formen wie folgt um:

$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!\cdot n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,\frac{n}{n}\,\frac{n-1}{n}\,\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}$$Jetzt nutzen wir die zuvor gezeigte Ungleichung $(*)$, indem wir in jedem Bruch das $n$ im Zähler und im Nenner um $1$ erhöhen:

$$a_n\le\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,\frac{n+1}{n+1}\,\frac{n}{n+1}\,\frac{n-1}{n+1}\cdots\frac{n+1-k+1}{n+1}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\,\frac{(n+1)!}{(n-k+1)!\,(n+1)^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(n+1)!}{k!\,(n-k+1)!}\,\frac{1}{(n+1)^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}<\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\,1^{(n+1)-k}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$$$\phantom{a_n}=a_{n+1}$$

Da in der Abschätzung ein echtes Kleiner-Zeichen (ohne Gleichheit) vorkommt, gilt tatsächlich:

$$a_n<a_{n+1}\quad\text{für alle }n\in\mathbb N$$

Die Folge $(a_n)$ ist also streng monoton wachsend.