Bildmenge, Kern und Dimension

Question

Hallo, kann mir bitte einer bei dieser Aufgabe helfen? Wie gehe ich da vor?

Gegeben sind die linearen Abbildungen:

a)

φ : ℝ²  ↦ ℝ²

Text erkannt:

\( x \rightarrow\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 0\end{array}\right) x \)

b)

ψ : ℝ² → ℝ³

Text erkannt:

\( x \rightarrow\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right) x \)

Aufgabe:

Geben Sie jeweils:

(i) die Dimension der Bildmenge und die Bildmenge selbst,
(ii) die Dimension des Kernes und den Kern an.
(iii) Diskutieren Sie zudem die Surjektivität und Injektivität der Abbildungen.

(Hinweis: Verwenden Sie, wenn möglich, den Dimensionsatz.)

Answer 1

Aloha :)

a) Die angegebene lineare Abbildung können wir als Vektorgleichung schreiben:

$$\varphi(\vec x)=\begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 0\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}=\binom{1}{2}x_1+\binom{0}{0}x_2$$

Daraus können wir folgende Antworten ablesen:

(i) Alle Bilder sind Vielfache des Vektors \(\binom{1}{2}\). Das Bild ist eindimensional.

$$\operatorname{Im}(\varphi)=\left\{\vec y\in\mathbb R^2\,\left|\,\vec y=\alpha\binom{1}{2}\;,\;\alpha\in\mathbb R\right.\right\}$$

(ii) Alle Einangsvektoren der Form \(\binom{0}{x_2}\) werden auf \(\vec 0\) abgebildet. Der Kern ist also eindimensional.

$$\operatorname{Kern}(\varphi)=\left\{\vec x\in\mathbb R^2\,\left|\,\vec x=\binom{0}{\alpha}\;,\;\alpha\in\mathbb R\right.\right\}$$

(iii) Die Abbildung ist nicht injektiv, weil die Dimension des Kerns nicht null ist. Dadurch gibt es unendlich viele Eingangsvektoren, die auf \(\vec 0\) abbilden. Die Abbildung ist auch nicht surjektiv, weil z.B. der Vektor \(\binom{1}{1}\) aus der Zielmenge nicht erreicht wird.

b) Wieder schreiben wir die lineare Abbilung als Vektorgleichung auf:

$$\psi(\vec x)=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}x_1+\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}x_2$$

Daraus können wir wieder alle Antworten ablesen:

(i) Die bieden Vektoren sind linear unabhängig, wie man direkt an den beiden \(x_1\)-Komponenten erkennt. Daher ist das Bild zweidimensional und es gilt:

$$\operatorname{Im}(\psi)=\left\{\vec y\in\mathbb R^3\,\left|\,\vec y=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}x_1+\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}x_2\;,\;\;x_1,x_2\in\mathbb R\right.\right\}$$

(ii) Wegen der linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren erhalten wir als Ziel den Nullvektor nur genau für den Fall, dass der Eingangsvektor der Nullvektor ist. Die Dimension des Kerns ist also null:

$$\operatorname{Kern}(\psi)=\left\{\binom{0}{0}\right\}$$

(iii) Die Abbildung ist nicht surjektiv, weil z.B. der Vektor \((1|1|1)\) aus der Zielmenge nicht erreicht werden kann. Die Abbildung ist injektiv, weil alle Spaltenvektoren linear unabhängig voneinander sind. (oder auch, weil der Kern ausschließlich den Nullvektor enthält (falls ihr den Satz schon in der Vorlesung hattet.))