Aloha :)
Die Abbildungsmatrix Φ muss Folgendes bewirken:Φ⋅⎝⎛010⎠⎞=⎝⎛−112⎠⎞;Φ⋅⎝⎛001⎠⎞=⎝⎛10−1⎠⎞;Φ⋅⎝⎛211⎠⎞=⎝⎛41−3⎠⎞Das fassen wir in einer Matrix-Gleichung zusammen:Φ⋅⎝⎛010001211⎠⎞=⎝⎛−11210−141−3⎠⎞Wenn es genau eine lineare Abbildung Φ geben soll, müssen wir daraus die Abbildungsmatrix Φ eindeutig bestimmen können:Φ=⎝⎛−11210−141−3⎠⎞⋅⎝⎛010001211⎠⎞−1Das heißt, die inverse Matrix muss existieren. Da die Determinante der zu invertierenden Matrix =2 und damit =0 ist, existiert die Inverse und Φ ist eindeutig bestimmt:Φ=⎝⎛20−2−11210−1⎠⎞
Das Bild dieser Matrix finden wir, indem wir mittels elementarer Spalten-Operationen die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren rausrechnen.−2S320−2+S3−11210−1→000b1011b210−1Damit haben wir das Bild von Φ gefunden:Bild(Φ)=⎝⎛⎝⎛011⎠⎞,⎝⎛10−1⎠⎞⎠⎞;dim(Bild(Φ))=2
Zum Auffinden des Kerns, lösen wir das homogene Gleichungssystem:x120−2200200x2−112−111010x310−1100100=000000000Aktion+Z1+Z2−Z22x1+x3=0x2=0✓Die letzte Gleichung ist immer erfüllt, die beiden verbliebenen Gleichungen sind x3=−2x1 und x2=0, sodass wir den Lösungsraum angeben können:⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛x10−2x1⎠⎞=x1⎝⎛10−2⎠⎞Damit haben wir den Kern gefunden:Kern(Φ)=⎝⎛10−2⎠⎞;dim(Kern(Φ))=1