Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass die Rendite des Portfolios größer als 2.22 ist?

Question

Die unabhängigen Zufallsvariablen Ri mit i=1,2,3,4,5 seien Renditen von 5 verschiedenen Wertpapieren. Die Renditen Ri sind normalverteilt mit folgendem Erwartungswert und folgender Varianz:
Ri∼{N(2.2,4.9), i= 1;2
N(3.4,3.1)i=3,4,5
Die Rendite eines Portfolios (Rp) setzt sich aus den obigen Wertpapieren mit folgender Gewichtung zusammen: Rp=0.25R1+0.75.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass die Rendite des Portfolios größer als 2.22 ist? (Eingabe bitte auf eine Nachkommastelle.)

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Die Wiedergabe eines Teils der Aufgabe ist missraten. Wahrscheinlich steht im Original

\( R_{i} \sim\left\{\begin{array}{ll} \mathcal{N}(2,2 \; ; \; 4,9) \quad , & i = 1, \; 2 \\ \mathcal{N}(3,4 \; ; \; 3,1) \quad , & i = 3, \; 4, \; 5 \end{array}\right. \)

Answer 1

Die zufallsverteilte Rendite X des Portfolios hat den Erwartungswert

\(\displaystyle \text{E}[X]  = 0,25 \cdot 2,2 + 0,75 \cdot 3,4 = 3,1 \)

und die Varianz

\(\displaystyle \text{V}[X]  = 0,25^2 \cdot 4,9 + 0,75^2 \cdot 3,1 = 2,05 \)

bzw. eine Standardabweichung von

\(\displaystyle \sigma = \sqrt{2,05} \approx 1,43 \)

Eine Rendite von 2,22 liegt etwa 0,61 Standardabweichungen unter dem Erwartungswert. Ein Blick in die Standardnormalverteilungstabelle ergibt dazu eine Wahrscheinlichkeit von etwa 72,907 %, dass die Rendite größer ist; mein Taschenrechner ist genauer als die Tabelle und zeigt etwa 73,060 % an.

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