Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass die Rendite des Portfolios größer als 2.16 ist?

Question

Aufgabe:

Die unabhängigen Zufallsvariablen Ri  mit 1,2,3,4,5 seien Renditen von 5 verschiedenen Wertpapieren. Die Renditen Ri sind normalverteilt mit folgendem Erwartungswert und folgender Varianz:

Ri~{N 2.8; 8.4} i=1,2

   {N3.7; 3.7}   i=3,4,5

Die Rendite eines Portfolios (Rp) setzt sich aus den obigen Wertpapieren mit folgender Gewichtung zusammen: Rp=0.62R1+0.38R3.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass die Rendite des Portfolios größer als 2.16 ist? (Eingabe bitte auf zwei Nachkommastellen.)

Problem/Ansatz:

Ich komme leider auf keinen grünen Zweig, vielen Dank für die Hilfe!!!

Answer 1

Die zufallsverteilte Rendite X des Portfolios hat den Erwartungswert

\(\displaystyle \text{E}[X]  = 0,62 \cdot 2,8 + 0,38 \cdot 3,7 = 3,142 \)

und die Varianz

\(\displaystyle \text{V}[X]  = 0,62^2 \cdot 8,4 + 0,38^2 \cdot 3,7 = 3,76324 \)

bzw. eine Standardabweichung von

\(\displaystyle \sigma = \sqrt{3,76324} \approx 1,94 \)

Eine Rendite von 2,16 liegt etwa 0,51 Standardabweichungen unter dem Erwartungswert. Ein Blick in die Standardnormalverteilungstabelle ergibt dazu eine Wahrscheinlichkeit von etwa 69,497 %, dass die Rendite größer ist; mein Taschenrechner ist genauer als die Tabelle und zeigt etwa 69,364 % an.